DANS UN MILIEU TRANSPARENT, COMPOSÉ DE COUCHES PARALLÈLES
84. Et, d'abord, ondes limitées, à vibrations normales au plan d'incidence. — Etant données les ondes incidentes, limitées comme on voudra, tout autour de l'origine, dans la première couche ^ = o, et décomposées en deux systèmes d'ondes à mouvements perpendiculaires, pour l'un, et parallèles, pour l'autre, au plan d'incidence, considérons d'abord le plus simple de ces deux systèmes, celui où la composante principale est C» exprioiée par la formule (262), mais avec cp' inconnu et fonction lentement variable de x^ y^ s, en même
temps que fonction rapidement variable de t —my - / Idx. A ce
déplacement ^ pourront se superposer deux très petits déplacements suivant les x et les y, savoir $ :z= a, t^ = p, n'ayant d'ailleurs de sensibles que leurs dérivées principales a', a'', . . . , jâ', p"
La dilatation cubique 0 sera dès lors
expression à termes tous très petits, et qui aura pour dérivées approchées, en X et^,
Vu d'ailleurs que A, (a, P) se réduiront sensiblement à (/- 4- m}) (a", p') , les deux premières équations (268) deviendront
(270) /a''-f-mP''= -— ; ^ — -^,
y/l àz ^l dz
car les dérivées complètes en z et les dérivées partielles -r^ prises
sans faire varier t — my — l Idx se confondent, z n'entrant pas
dans cette variable principale.
Multiplions cette équation, (270), deux fois successivement par dty et intégrons chaque fois sur place, soit à partir d'un instant où le repos primitif existait encore en (j7, y, 5), soit de manière, si le mouvement est périodique, que les valeurs moyennes en {x^y^ z)
de <p , même de cp, et aussi, par suite, de -~ et de -r:» s annulent
clz ctz
comme celles de ï, a, p. Il viendra
(•^70 ^^-^""^^^.dz- Jldz
5lO ONDES PLANES, LATÉRALEMENT LIMITÉES,
Or, les cosinus directeurs de la normale aux ondes étant
,, . /a-hmp . . , , , I do 1.1
lexpression , ainsi égale a -; — r=^^ -r-> représente le
petit déplacement, que nous pouvons appeler £,, provoqué dans les ondes, suivant le sens qui leur est normal, par le déplacement principal ou sensible, supposé, Ç. Rappelons-nous que R désigne le radical ^l{l'-t- m*)i et nous aurons, pour évaluer ce petit déplacement correctif ei, la formule simple
i do i do
Passons maintenant à la troisième équation (268). Comme tous les termes de Texpression (269) de 6 sont très petits et n'ont, par suite, d'appréciable que leur dérivée principale, leur dérivée en z sera
censée nulle ou donnera -r- z=o. Reste à calculer AjÇ. Le troisième az
terme -r-j y sera négligeable, la petite dérivée -7- n'ayant de sensible (tz ctz
que sa dérivée principale -73- ou —7 -r^ • Quant aux deux premiers
UZ il i oz
termes, l'expression /~*<p' de Ç donnera, d'abord,
dx ' dx •! ^ ' dy ' * ây
puis, par de nouvelles difTérentiations où tous les termes très petits n'auront de sensible que leur dérivée principale,
d^l l "^ do" I i Ido' I i
dy^ ' dy dy'
et il en résulte
(:^73) A5Ç=(/t.Hm»)ricp--2r«f/ J^-m^j.
Le premier membre de la troisième équation (268) étant d'ailleurs (/*-h m*) r^tf'^y cette équation devient
(ou encore —l^lg^,n^)=o.
DANS UN MILIEU TRANSPARENT HÉTÉROGÈNE. 5ll
Multiplions celle-ci deux fois successivement par dt et intégrons, chaque fois, soit à partir d^un instant où le repos régnait encore autour de (x,y^z) et où, Ç, e s'y annulant, cp', cp même, y étaient
réduits à zéro, avec leurs dérivées partielles -;, -» soit, dans le
cas de mouvements périodiques, de manière que cp', cp aient, comme C et e|, leurs valeurs moyennes sur place nulles. Dans ce cas, si Ton pose
(275) 'z — t — my — I IdjT,
on a deux équations comme / cp' û^t m:: o, / cp e/x zz: o, les intégrations s'étendant à toute une période; et ces équations sont vraies (sans faire varier les limites de x), quels que soient x et y. On
peut donc les diJFérentier sous le signe / en j? et y ; ce qui donne
/-r-,— — -dz:zzOy I -— •- dzT:zo: et les petites dérivées parà{^,y) J (){œ,y) ^ ^
tielles de cp en J7 ou / (obtenues sans faire varier x) ont aussi leurs
valeurs moyennes nulles.
En résumé, Téquation (274) équivaut, dans la théorie des petites
vibrations de Péther, à
dx Oy
Or, si nous appelons dn, à partir du point (XyyjZ), un élément de
chemin normal aux ondes et dirigé suivant le sens de leur progres-
sion, ses cosinus directeurs seront ; et ses projections au?,
dVi dz sur les axes auront les valeurs . ' ' La dérivée de 9
le long de cet élément, prise en suivant une même onde ou sans faire varier x, sera donc
dn y//i-i-,n« \ ^^ àyj
et Téquation (276) s'écrira simplement
Elle exprime que la fonction <p conserve (sensiblement) sur chaque onde les mêmes valeurs durant toute sa propagation, le long des tra-
5l2 NORMALITÉ DES RATONS LUMIN£UX AUX ONDES,
jectoires perçant normalement Tonde dans toutes ses positions. Cette fonction cp peut donc recevoir, dans le voisinage de la première couche x=:o, telles valeurs qu'on voudra, fonctions données de z et d'une coordonnée courbe normale aux. z ou mesurée le long de cette onde au départ, sur le plan a^y d'incidence : elle peut, par exemple, être nulle, sauf dans une petite étendue autour de Torigine, cas où il est clair que les ondes restent sensiblement planes. Mais, dès lors, ses valeurs sur Tonde en question seront déterminées pour toute la suite des temps ^, puisque chacune d'elles se conservera sur la trajectoire,'
normale aux. ondes, émanant du point où elle existait au départ.
T A raison de la formule ~p. de Ç, c'est dire évidemment que le faisceau proposé de lumière parallèle se transmet suivant le sens normal aux ondes (* ). Quant au mode de variation de ï et de <{> dans les sens tangents aux. ondes, il règle seulement le déplacement longitudinal insensible e,, donné par la formule (272) et qui, même, ne dépend, comme on voit, dans une mesure appréciable, que de la variation de <p, ou, au fond, des déplacements ï eux-mêmes, suivant le sens de ces déplacements, c'est-à-dire, ici, des z,
85. Ondes limitées, à vibrations parallèles au plan d'incidence. — Passons à Tétude d'ondes limitées, dans lesquelles il n'y ait de sensible que le déplacement transversal 8 parallèle au plan d'incidence ou des j?/, déplacement qu'on pourra toujours supposer exprimé par la première formule (267) (p. 5o6) où, seulement, la fonction «^'j
rapidement variable avec t — niy — 1 /t/j; , varierait, en outre, lentement avec x^ y Qi z. A ce déplacement o il s'adjoindra dès lors, non seulement le petit déplacement longitudinal £, donné par la seconde formule (267) ou vérifiant les relations (265), (266), mais encore un surcroît, E|, de déplacement longitudinal et, peut-être même, un minime déplacement Ï = Y suivant le sens des 5, dû au défaut de symétrie que cause la variation de 8 avec z. Les expressions des dépla-
ce) Huygens l'avait admirablement pressenti dans son ébauche de la théorie des réfractions atmosphériques. On le voit par sa figure des ondes émanées d*un foyer élevé dans l'air et qui, à raison de leur vitesse croissante aux hauteurs où Tair est plus rare, se déforment, en grandissant, de manière à rabattre vers le sol leurs trajectoires orthogonales, c'est-à-dire les rayons lumineux ( Traité de la lumière, 1690, p. 44)*
DANS UN MIUEU TRANSPARENT, ISOTROPE, MAIS HÉTÉROGÈNE. 5l3
céments suivant les axes seront, dès lors, au lieu de (266) (p. 5o4) :
Les termes en s, e| et y s'y trouveront assez petits pour n'avoir de sensibles que leurs dérivées par rapport à la variable principale
t — my — 1 Idx, dérivées s'écrivant par des accents. Quant à la
fonction o', elle aura, en outre, de petites dérivées premières non
négligeables — —t obtenues sans faire changer la variable prince v^j JK» ** J
cipale. Les expressions de Aj?, A^t^, 0, ... obtenues au n® 81 (p. 5o4
et 5o5) s'accroîtront donc de termes en -— , -— , sans compter ceux
ôy Oz ^
que fourniront e, et ï.. En se reportant aux formules qui suivent (267), (258), (269) et se souvenant, surtout lors des secondes différentiations, que leurs termes très petits n'ont de sensible que leur dérivée principale, on trouve les formules suivantes, où ne sont écrits explicitement que les termes nouveaux :
d\ ^ /' , £^ ''^ ^ ^^ ^/ d^ rn d'i>'
dx ^7^ï~f^^'' dy K dy ^/ï^^'*' dz~^ K~dz'
d^\ . /» . ^ i"^ ^ :^ if /'"* c" ^
dx^' ""/7r.^r^^^' ~dy^~ " ' a oy '"' h ôy ^/i ,,12'»' d^~
. m^ àtù" , ,-j-—
dr^ ml
dr^ dy
d^' m» , dr^
/ c^cp'
dx y/l^-^ni^
^y y/l^-r-m'*' " rf-
d^r, ml^
3i/m ào" /n* ^
àx^ y/l^-^m^
H ^.r yjl^-v-m^
Im âo" A,r. =...-2-^
-4- m yjl^ -r- m* e'j ;
tz =ôz='' ^^^"
'ayant de sensible
que
; sa dérivée principale 7'),
/ ^^' , d^ . / / do" 0 , \
Par suite, les premiers membres des deux premières équations (268) s'accroissant d'ailleurs de {\ m)\jL'^-\- m- i\^ ces équations devien- B. - 11. 33
5l4 ONDES LÀTÉRALEMBlfT LIMITÉES
dront, au lieu de ( 268 ) ( p. 5o5 ) et en observant que l'expression ( 266 ) de e fait évanouir la parenthèse de ces équations (268) :
(îi79)
I m ,\ do" dtp" \ /* - //i' d<p' , ri r •
Ajoutées après multiplication par m et par — / respectivement, elles donnent
l^-r- m^ / ,09" âo''\
c'est-à-dire précisément la même équation, (274 )» que dans le cas de déplacements transversaux perpendiculaires au pian d'incidence. On en déduira de même (276), (277) et, par suite, la conservation des valeurs de la fonction (p suivant le sens normal aux ondes, ou la transmission, dans ce sens, du mouvement sensible, à l'exclusion des autres sens ou tangents, ou obliques, aux mêmes ondes.
Nous pouvons continuer à prendre pour e l'expression (266) ou (267),
avec <p fonction arbitraire, rapidement variable, de ^ — m y —Il djCy
et lentement variable de 5, ainsi que d'une coordonnée courbe comptée dans le plan des xy le long de la première surface d'onde, comme dans le cas de déplacements C normaux au plan d'incidence. Dès lors, la nouvelle correction ej résultera des équations (279), devenues, à
raison de (280),
.do' ào'
ày ox
do' do"
R „ «îr f^^
ou bien
n „ — "^ ào
i Re, i ^ ( — i- -t-
^ '' [^li.^m^àx
/F^m^ ày)
Celle-ci, traitée comme Ta été (270) au numéro précédent (p. 5o9), donne de même, grâce à deux intégrations par rapport au temps ( effectuées sur place ) :
/ o V D — m do l do
(289.) Re, —
Considérons la surface d'onde, cylindrique, qui passe par le point (a;,/, 5), et rapportons-la, d'une part, à l'axe des z dirigé suivant ses génératrices, d'autre part, à une abscisse courbe s, comptée, dans
DANS UN MILIEU TRANSPARENT, ISOTROPE, MAIS HÉTÉROGÈNE. 5l5
le plan d^incidence, à partir du point où la perce la trajectoire normale aux ondes émanée de Torigine. Enfin, appelons ds l'arc élémentaire tiré, à partir du point {x, /, z), suivant cette abscisse légèrement courbe, ou, par conséquent, dans le sens même du déplacement $,
dont les cosinus directeurs sont — ^ ' — » Le second membre
de (282) sera évidemment la dérivée de cp le long de cet arc ds; et Ton aura
formule toute pareille à Texpression (272) de ce petit déplacement longitudinal correctif dans le cas de mouvements perpendiculaires au plan d'incidence; car, ici, la coordonnée de même sens que le déplacement transversal est s et non plus z.
Il reste la troisième équation (268) (p. 5o8). Mais Texpression ci-dessus de 6, n'ayant de sensible que sa dérivée principale 0', donne
— - -^o; et, dès lors, C satisfait à cette équation (268) indépendam-
ment de l et de t). Autrement dit, les déplacements transversaux 0 parallèles au plan des xy n'entraînent aucun déplacement appréciable qui soit normal à ce plan.
En résumé, les lois obtenues au numéro précédent pour régir, dans un pinceau limité de lumière parallèle, les vibrations sensiblement normales au plan d'incidence, s'appliquent purement et simplement aux vibrations parallèles à ce plan; et les petits déplacements longitudinaux Ej qu'y nécessite, sur chaque surface d'onde, la variation d'un point à l'autre, suivant son propre sens, du déplacement transversal S, sont régis aussi par la même loi.
86. Ondes limitées, à yibrations polarisées dans un azimut quelconque : conservation approchée de leur force vive, suivant le sens qui leur est normal. — Supposons maintenant que, dans le plan jc - o de la première couche, le déplacement transversal effectif soit incliné, partout où il n'est pas nul, d'un angle constant V sur la normale au plan d'incidence, sa valeur y étant d'ailleurs de la forme
^^'{t — my,y,z), avec ^* ou, par suite, «^ = / ^' dt^ fonction
arbitraire donnée, rapidement variable, de l — my, et, lentement variable, de y, z. L'on aura, pour la suite des valeurs positives de j?,
o égal à 4'CosV, dans l'expression -^ de î, mais égal à ^{'sinV, dans
5l6 OlfBBS LATÉRALEMENT LIMITÉES,
Texpression analogue de S, les valeurs de 4^ et de ^' étant, au point quelconque (.r, fy z) et à l'époque ty celles qui existaient dans le plan même j? =r o, au point d'où en émane la trajectoire normale aux ondes qui aboutit en (a?, y, z), et à l'instant de départ de l'onde qui arrive actuellement en ce point {x, y, z).
Ainsi, les deux composantes notables ou sensibles ^, S des déplacements seront, en ne mettant en évidence (^) dans <)/ que la variable
principale x =z ^ — m y — / Idx,
(284) C- ^''''('""'•^^-/^^^j' ^='J^J-^'(^t-my--Jlriœy
(') Si Ton voulait faire figurer explicitement, dans les fonctions <{/'et^, toutes les variables dont elles dépendent, on pourrait, par exemple, appeler y^, z^ les coordonnées y^ z des divers points de la première couche hétérogène x =o et t^ les instants du passage ou du départ des ondes en ces points. Alors les valeurs initiales de '^' ou de <)'» c'est-à-dire leurs valeurs dans cette couche, arbitraires et données, soit pour ^', soit pour <);, s^écriraient
^' ( /„ - my^, y,, z,), + ( /» - fny,, y^, z, ).
Or, de chaque point (y^yZ^) du plan x o émane un rayon, ayant pour équations difTérentielles dz = o, dy j- dx — o, ou, par suite, pour équations intégrales ,
dx
De plus, chaque élément, dti^ de ce rayon, somme de ses projections dx et dy respectivement projetées elles-mêmes sur lui, ou égal à
-7 dx -î- -p=^ s= dy,
exige, pour être parcouru par les ondes, le temps — — \JP-r- ni^day c'est-à-diie
simplement Idx-h mdy; de sorte que la durée de parcours du rayon, jusqu'a^i
point (0?, y,-s), est m{y - yo) -h 1 l dx. Ainsi, d'après les lois concrètes
établies ci -dessus, les valeurs de +' et de ^, en {x,yj z) et à Tépoque ^ sont les valeurs connues qu*avaient prises ^' et ^ au point du plan x ^ o ayant les coordonnées
r'' dx
