DANS UN MILIEU TRANSPARENT, ISOTROPE, HAIS HÉTÉROGÈNE
Quant à leur petite composante longitudinale, formée par la superposition de celle, (272), qui correspond aux mouvements effectués dans des plans normaux au plan d'incidence, et des deux, (267), (283), qui correspondent aux mouvements effectués parallèlement au plan d'incidence, elle se composera de deux parties distinctes, dues, l'une,
à rhétérogénéité du milieu, c'est-à-dire à la lente variation, avec x^ du paramètre l^^k/l ^\ ou de la vitesse tu de propagation;
Tautre,
à la lente variation du déplacement transversal effectif \/ï* 4- 8* sur une même onde et à un même moment.
Dans Texpression (286) de celle-ci, la quantité entre parenthèses est la somme des petites dérivées partielles de la fonction ^ suivant les deux sens respectifs de dz et de ds^ multipliées par les cosinus directeurs, cosV, sinV, relatifs à ces deux éléments rectilignes, d'un petit arc ^S tiré, aussi dans la surface d'onde et à partir de {x^y^ z)^ suivant la direction (positive) des déplacements sensibles totaux y/ÇM-S*. La somme dont il s'ngit représente par conséquent la dérivée
et à l'époque /o = / — m (^ — ^'o ) ~ / ^ ^^ • ^^ ^"i donne i^ — my^ —. i — my — / / dx.
Les fonctions ^' et <j' recevront donc les expressions, explicites en ^, Xy y tl » +' / / — my — I l dxy y — m j —,->*)
i\>(t-my—l ldx,y-mj -^> -j,
et
la première étant la dérivée de la seconde par rapport à sa variable
/ — my — I l dx.
5l8 MIUBUX TRANSPARENTS HÉTÉROGÈNES : TRANSMISSION INTÉGRALE
de la fonction i|; suivant la propre direction du mouvement transversal ; et Ton a
formule comprenant comme cas particuliers les deux précédentes (272), (283). C'est donc une loi générale que le petit déplacement longitudinal e^ ne dépend, à très peu près, dans un milieu isotrope, que du mode de variation, suivant leur propre sens, des déplacements transversaux effectifs.
La seconde partie, (286) ou (286 bis), du petit déplacement longitudinal est évidemment celle que représentait, au numéro 21 (p. 809) la formule (67), et qui s'y démontrait le plus simplement possible par Téquation (20 bis) (p. 277) exprimant, dans un milieu homogène et isotrope, la conservation de la densité de Téther. Et, en effet, par rapport à trois axes rectangulaires locaux dirigés respectivement, à partir de (a?, j/-, 5), suivant la normale dn aux surfaces d'onde (de courbure insensible ) suivant leur tangente dSj parallèle aux :ry, et suivant la tangente perpendiculaire dz, les composantes du déplacement seront Êj, 8, Ç; et la condition ordinaire de conservation de> volumes fluides s'écrira
Or, différentions (286) dans le sens ^n normal à Tonde, en observant que les termes, tous très petits, de (286) n'ont que leur dérivée principale de sensible, et aussi que, le long de dn, dx et dy y étant
(/,m)rfn , . . . , j./P' .-11 (/*-f/n*)</n , ) la variable principale a pour différentielle — — - — ?
ou ^sJl}-\- m^dn, ou encore -zdn. Il vient
-7- = -[ -^cosVh — i- sm V
an Jl\às^ Os )
c'est-à-dire, d'après (284),
du ~~ \dz
relation revenant bien à (287).
L'autre partie, (285), du déplacement longitudinal se déduirait, de même, aisément, de la relation générale (8) (p. 272), qui remplace celle
DB LA FORCE YITE, LE LONG DE CHAQUE RATON. SlQ
de conservation des volumes éthérés quand il j a hétérogénéité du milieu et où, vu risotropie, il faudrait ici, d^une part, annuler D, D', E, E', F et F', d'autre part, remplacer (proportionnellement) i -h A, n- B,
H- C par ~ ou par /* -i- m*, avec / fonction lentement variable de x.
tu*
Mais laissons de côté le petit déplacement longitudinal, qui, étant
du premier ordre de petitesse, comme -^ ~i^ - , ne donne lieu qu'à
des vitesses vibratoires du même ordre et à des demi-foi ces vives d'ordre supérieur, c'est-à-dire négligeables dans notre théorie approchée. Ne nous occupons que du déplacement transversal, seul sensible, résultant des deux composantes C, §, et qui, incliné partout, d'après (284), de Tangle V sur la normale au plan d'incidence, a pour
valeur -^« La vitesse vibratoire est évidemment sa dérivée par rap-
port au temps, ou- ; et elle a pour carré -^•
Cela posé, considérant dans notre milieu transparent un rayon lumineux, limité par des trajectoires orthogonales à toutes les surfaces d'onde et d'une très petite section normale variable 9, évaluons la demi-force vive que charrie, le long de ce rayon, une onde quelconque, à laquelle nous attribuerons partout une épaisseur infiniment petite, coé/T, telle, que cette onde emploie un petit temps constant donné, c/x, à passer par un quelconque de ses points. L'onde en question se trouve, en effet, séparée de celles qui la précèdent et de celles qui la suivent par deux surfaces mobiles, dont la seconde, succédant à la première, dans toutes ses positions, un temps constant d-z après que celle-ci les a quittées, s'en tient bien aux distances variables dont la formule est sans cesse co d'z.
Le rayon sera, par exemple, compris, d'une part, entre deux plans parallèles au plan d'incidence et distants de dz\ d'autre part, entre deux petites surfaces cylindriques, de hauteur dz, normales au même plan et inclinées sur les xz de l'angle variable i d'incidence. Ces surfaces cylindriques coupant ainsi, toutes les deux sous le même angle complémentaire de i, chaque plan normal aux x^ leur intervalle, dy^ mesuré dans le sens parallèle aux y sera constant; et leur espacement perpendiculaire ds^ largeur variable du rayon qu'elles interceptent,
Idv égalera par suite (?/cost ou ^ La section <r, c'est-à-dire dsdz^
du rayon vaudra donc - - - • Par suite, l'élément d'onde, d'épais-
