DANS UN MILIEU TRANSPARENT HÉTÉROGÈNE

87. Passage au cas où les surfaces équiréfringentes ne sont plus parallèles; le principe de Fermât s'y trouve justifié, du moins pour les milieux isotropes. — Maintenant que nous savons comment progresse, dans un milieu transparent à couches isotropes planes et parallèles, le mouvement excité par un pinceau de lumière parallèle qui y pénètre, il nous est facile d^obtenir les lois élémentaires de la transmission d^un pareil pinceau dans un milieu à couches courbes et non parallèles. Jusqu^à des distances de quelques longueurs d'onde tout autour d'un point assigné quelconque (^>^}^), la vitesse de propagation (u y sera, très sensiblement, la même que si les surfaces w "=i const. s'y trouvaient être des plans parallèles au plan tangent, en ( j:,y,5), de la véritable surface équiréfringente qui y passe, et si l'on avait, en (j^jj'j-c), les valeurs tant de w que des dérivées partielles premières -T 1 données pour ce point. Donc la propagation du

mouvement vibratoire s'y fera aussi de même, à très peu près, y compris notamment les changements de direction du pinceau lumineux, dus à l'existence de ces dérivées de (u.

Il est vrai que le pinceau, en arrivant sur la première des couches planes et parallèles ainsi considérées et substituées fictivement aux couches courbes to>=z const., ne viendra pas d'une région homogène, comme nous l'avions admis, pour fixer les idées, dans notre analyse. Mais, celte analyse même montrant que le pinceau conserve, après avoir traversé des couches hétérogènes, sa nature de pinceau parallèle, ou, en d'autres termes, que les ondes y prennent seulement des courbures insensibles et que le mouvement transversal, s'il était polarisé au départ, reste polarisé, les ébranlements se produiront très sensiblement, à l'entrée des couches planes et parallèles dont il s'agit, comme nous l'avons supposé dans nos calculs.

L'axe du pinceau, dévié dans le plan d'incidence quand les surfaces équiréfringentes sont planes et parallèles, le sera donc encore, presque entièrement, dans ce plan. Autrement dit, le plan osculateur du rayon lumineux coïncidera avec le plan d'incidence, ou plan que déterminent le rayon, à son arrivée sur une surface équiréfringente co ^= const., et la normale à cette surface. Ainsi, le plan osculateur du rayon lumineux sera, partout, normal à la surface w = const. traversée.

Déplus, le changement de direction du rayon sur un petit trajet ^n étant, à très peu près, le même que dans le milieu à plans parallèles équiréfringents, l'angle de contingence correspondant du rayon, que j'appellerai A (en le comptant positivement quand le rayon s'écartera de la normale aux surfaces équiréfringentes traversées), pourra s'éva-

522 PRINCIPE DE FERMAT, SUR l'ÊGONOMIE D(J TEMPS

luer par la formule qui le donnerait dans Thypothèse de tels plans

parallèles. Or celte formule est m r= const., ou ~. const., i dési-

gnant les angles faits avec la normale, en {Xy y, z)y à la surface co =: const. qui y passe, par divers éléments successifs du rayon, et, a>, les vitesses respectives de propagation de la lumière sur ces éléments. Donnons-nous pour l'un d'eux celui qui perce, en {x^y, z), la surface proposée a> = const., et soit i Tangle correspondant d'incidence, ou angle de l'élément (prolongé) avec la normale à cette surface, sur laquelle co désignera la vitesse de propagation. Un second élément sera pris à la distance dn plus loin, là où o) est devenu in -k- din et où, le rayon, ayant tourné de A, fait l'angle /h- A avec la même normale. La relation m = const. donnera ainsi, sauf erreurs négligeables de l'ordre de ûfn' ou de ûf«o*,

sine sin(/-^A) sin / -i- (cos/ ) A frost^A co co - d{*i co H- dm doi

c'est-à-dire

(290) A- — tangt', ^

formule différentielle fondamentale, bien connue, des réfractions atmosphériques.

Les déviations élémentaires des rayons lumineux se calculeront don c par la formule de Descartes ou des sinus, exactement comme si les surfaces équiréfringentes étaient des surfaces de séparation de couches homogènes, ou produisaient des réfractions proprement dites.

Ainsi, la belle loi de minimum ou d'épargne, révélée à Fermât par une inspiration de génie, se trouve vérifiée, tout au moins dans le cas d'isotropie, par le trajet des rayons lumineux à travers un milieu de réfringence graduellement variable. Tant dans ce phénomène que lorsqu'il y a rupture brusque des rayons à la surface séparative de deux milieux, la presque totalité du mouvement est bien propagée suivant les voies qui assurent au trajet la plus grande économie possible de temps.

Il doit y avoir une raison générale, sans doute à la fois métaphysique et mathématique (suivant le point de vue d'où on l'envisage), mais qui nous échappe encore, pour que les transmissions qui se font par ces voies soient les seules, ou soient seules efficaces. Serait-ce, en quelque manière, parce que, de tous les mouvements partis en même temps, ceux qui arrivent les premiers quelque part résulteraient d'im-