KXTENSION DU PRINCIPE DE FERMAT AU MOUVEMENT RELATIF

Nous y notons par des accents les dérivées relatives à la variable pv\nc\pR\e t — I Idx — my -- nzy où m, n seront comme précédemment, pour les mêmes raisons, des constantes connues : car on donnera Texpression my -{- nz du temps employé par les ondes» sur la première couche hétérogène a7i=::o du corps, à atteindre un point quelconque {y y z) après avoir touché l'origine des coordonnées ; et, par raison de parité (ou de très graduelle variation) des circonstances produites successivement sur toute l'étendue des couche > .r ::= const., ce retard relatif se transmettra sans changement aux diverses profondeurs œ sous la surface (*).

Quant à /, ce sera la fonction lentement variable de œ définie par l'équation

(a') li H- m^T- ;i«— 2(Var/ H- V^m -^ V^n) = N*,

qui diffère très peu de (248) (p. 499 )> ®^ ^'j réduit quand on annule Vx» V^., Vx, n. On peut, sauf erreur négligeable de Tordre des carrés et produits de V^., V^, V^, y remplacer, dans la parenthèse, / par sa valeur de preniière approximation y/N* — m* — /i*, foncièrement identique à (248).

( ' ) Sur toutes les régions de la couche â? — 0, ou autour de son point queltronque ( JK? -s), les mêmes séries, que nous supposerons d^abord identiques partouty de circonstances, productrices, presque à elles seules, du mouvement de i'élher voisin situé du côté des a; positifs, ne peuvent qu'y amener, partout aussi, les mêmes suites de phénomènes, les mêmes séries de valeurs de Ç, t., Ç à chaque distance J7, et pour les mêmes valeurs de t — my — nz, c'est-à-dire avec les retards mêmes, my -{- nz^ éprouvés par ces circonstances dans la région (y, z) dont il s'agit, comparativement à celle qui entoure l'origine des coordonnées. Donc \f 7), Ç ne dépendent alors que de < — my —nz et de a?, ou (/ étant fonction de x) de t — I l dx — my - - nz et de x.

D'ailleurs les réflexions de la page 499 tendent ensuite à faire voir que, si Ton détermine convenablement /, ^ - / Idx — my — nz est la seule variable principale, et que a?, puis même y tl z quand les circonstances ne sont plus tout à fait pareilles, aux divers points de la couche a: = o, ne s'introduisent, en outre, que comme variables corrélatives à des variations lentes de Ç, ti, C»

Si ces considérations ne semblaient pas entièrement rigoureuses, que notamment l'emploi fait, à leur début, du principe de parité ou de raison suj/lsante parût un peu subtil, leur justification découlerait, a posteriori, de leurs résultats. Car elles conduisent à des intégrales approchées Ç, t), ^ véxifiant tout à la fois les équations indéfînies du problème et les conditions d'état initial. Or nous savons que l'ensemble de ces relations détermine complètement Ç, t;, ^, du moins ( p. 349) quand il n'y a pas de mouvement translatoire du corps.

DE LA LUMIÈRE, DANS Ulf MIUEU BÉTÉROGÈNE EN MOUTEMENT. 525

Les équations (a), difFérentiées en x^ y, z et ajoutées, donnent, si N' est la petite dérivée de N en a? :

.NNT-.N.6'-.(v.£-.V,|-V.j:)=o.

Cette relation, multipliée par dt et intégrée sur place j à partir d'un instant où le mouvement vibratoire n'avait pas encore atteint la région {Xyy,z) du corps, devient

Or celle-ci, à une première approximation où Ton annule V^:, Vy, V-, peut être encore multipliée par dt, puis intégrée de même; et elle

donne alors 6 r — ^ "îv^» valeur qu'on peut, sauf erreur négligeable,

substituer dans les petits termes affectés de V^., Vy, V^, en négligeant non seulement le carré N", mais, même, la très petite dérivée N''. El il vient ainsi, pour la dérivée principale 6' de la dilatation cubique 6, la valeur

^" ^^^ N^V^dx ^^dy^^'dzj

Mais cette expression de 0' contient partout le petit facteur N', qui permet de réduire les dérivées en x, y, -s, le multipliant, à leur partie principale — (/, m, /i)Ç'. Et alors une nouvelle multiplication par dt, suivie encore d'une intégration sur place, donne la formule, qui est ici l'analogue de (8) (p. 272) :

Celle-ci montre, à raison du petit facteur N', qu'on pourra, dans les seconds membres de (a), réduire les dérivées de ô en a?, y, -g à leurs parties principales (/, m, n)^'. Comme on aura, d'ailleurs,

dx dx' dx âx^