HANIÈRE DE LES INTÉGRER
absolue (binôme positif pour a < -^ — j> et, d'autre pari, en adoptant comme unité de longueur la vitesse de propagation a qu'aurait la lumière dans le corps, s'il n'était ni dispersif, ni absorbant. Nous aurons donc à intégrer, pour tous les points (^, /, z) de l'espace, l'équation
sous les conditions que ^ et ~ soient, à Tépoque ^ = 0, deux fonctions arbitraires, mais fînies, /(^,/, ^), F(j7,/, 3), exprimant, d'après (294), la première, les valeurs initiales du déplacement considéré Ç, ou Tj, ou î, mais la seconde, dérivée, pour / = o, du pro-
duit (l. Y), X,)e^^ , la somme des valeurs initiales de ' ' — et
de^^"(?,r.,;) (1).
La manière la plus simple d'effectuer cette intégration de (297), et même la seule qui ait été (entée ou ait abouti en dehors du cas d'une coordonnée unique x (où il n'y a que deux variables indépendantes X et ^), consiste à la ramener à l'intégrale classique, donnée par Poisson, de l'équation du son
C'est l'intégrale, bien connue,
lî&=— --T- / ^{x -\- t cosa, y -\- t cosp, z -^ t cosy) -— ' 4 7t ,/- t
(') On réduirait de in^me à la forme (297) une équation dont le premier membre contiendrait, de plus que les premiers membres de (agS), trois termes à coefficients constants et où Ggureraient linéairement les dérivées premières de \, T, ou îl en Xy y, z. Il suffirait alors de prendre Ç, t; ou Ç de la forme
en déterminant les quatre constantes h, /, m, n de manière à annuler, dans
d,^ c?9 d'9 do l'équation transformée en 9, les quatre coefficients totaux de -jj) -r-y -r- > -^'
534 ÉQUATIONS DE MOLVEMENT NON HOMOGÈNES, aiAIS Dt SECOND ORDBE :
OÙ +(^, /, -s)) ^{Xjy,z) désignent les valeurs initiales (relatives à ^ = o) tant de la fonction (p que de sa dérivée première en t, et où
les intégrations / s^étendent à toute Faire a = 4^^* d'une sphère dé-
exile autour de (^, /, 5), dont les divers points
{x -{- 1 cosa, y-^ t ces ^^ z-h t cosy)
sont les extrémités de rayons égaux t définis en direction par leurs angles a, p, y ^^^^ ^^^ ^^^^ (*)•
90. Intégration de ces équations^ dans le cas de deux coordonnées y, 2, ou de trois variables y^ z et t^ par l'introduction d'une variable indépendante x supplémentaire. — La réduction de Téquation (297) à celle du son (298) se fait par une méthode que m'a suggérée, dans le problème des ondes liquides superficielles d'émersion à deux coordonnées horizontales, la nécessité d'y diviser des difficultés d'intégration presque inextricables autrement ('). Elle consiste à introduire une variable indépendante de plus que celles figurant dans la question, variable destinée à recevoir finafement la valeur zéro, mais dont la présence amène, chez la fonction, un nouveau mode de variation, disponible à volonté et que l'on choisit précisément en vue de tourner l'obstacle trop difficile à franchir.
Supposons d'abord que notre milieu ait seulement les deux dimensions correspondant aux coordonnées y, s, ou que l'équation proposée,
soit à intégrer dans le plan des yz^ où cp et sa dérivée en t devront se réduire initialement à deux fonctions données f{yyZ)^ F(y, 3). Rien n'empêchera de construire cette fonction cp pour tout l'espace et d'après la formule (299), c'est-à-dire en l'assujettissant à Téqua-
( * ) Oo peut voir une démonstralton très simple de cette formule capitale (299) , par ce que j'ai appelé les potentiels sphériques, aux pages Sîo à 323 du Volume intitule Application des potentiels à l'équilibre et au mouvement des solides élastiques, etc. et dans le Tome, consacré au Calcul intégral, de mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique {Complémen ts, p. 195* à 198*).
(^) Môme Tome de Calcul intégral, p. 5o6*. C'est, du reste, la méthode que j'ai employée plus haut (p. 96) dans une question de refroidissement où elle donne des résultats seulement approchés et non, comme ici, des résultats exacts.
