MANIÈRE DE LES INTÉGRER, POUR UN ESPACE A DEUX DIMENSIONS

tion (298), si Ton peut disposer de sa manière de varier avec cT, arbitraire jusqu* à présent, de telle sorte qu^elle vérifie à la fois les deux équations (298) et (3oo), ou qu^elle donne, à toute époque,

Par conséquent, la nouvelle équation (Soi) s'appliquera d'abord pour t infiniment voisin de zéro; c'est-à-dire qu'elle régira, en particulier, les valeurs initiales <K^, y, z) et ^{x, /, z). Donc, en représentant parles signes co, si, des cosinus et sinus soit hyperboliques, soit circulaires, suivant que le second membre de (3oi) aura le signe supérieur ou le signe inférieur, nous devrons prendre, vu la forme connue des deux parties iAni paire (\\x' impaire de l'intégrale de (3oi},

f{y^^)y F(/)-)» /i(/>-)i ^\{y^^) y désignent quatre fonctions arbitraires, dont les deux premières sont les valeurs données de ^ et V sur le plan des yz.

D'ailleurs, avec ces expressions (3o2) de ^ et V, la valeur (299 ) de <p pourra évidemment, quel que soit ^, se difTérentier en x sous

les signes / ; et, les dérivées secondes des fonctions ^, ^ par rapport

à leur première variable, x -h/cosx, y reproduisant identiquement, d'après la propriété qui nous a donné (3o2), ces fonctions mêmes multipliées par la constante d=4^'> l'équation (Soi) se trouvera satisfaite à toute époque, non moins que (298). Il en résultera donc bien la vérification constante de l'équation (Soo) du problème.

Comme on n'a besoin des valeurs de ^p que pour x = o, c'est-à-dire sur le plan des /5, les parties impaires en x des expressions (S02)

de ^ et U^, celles où figurent des sinus, donneront sous les signes /

de (299), des éléments égaux et contraires pour deux éléments d^ de sphère symétriques de part et d'autre du plan des yz^ ou correspondant aux mêmes valeurs de cos^, cosy» mais à des valeurs égales et contraires de cosa et, par suite, de la première variable tout entière, qui sera ^cosa. Donc ces parties impaires des expressions (S02) disparaîtront des résultats; et il ne restera que les parties paires qui, elles, fourniront des éléments égaux de part et d'au tre du plan des/^. On pourra ainsi n'étendre les intégrations indiquées dans la for-

536 ÉQUATIONS DE MOLYKaiENT NON HOMOGÈNKS^ MAIS DL* SECOND ORDRE :

mule (299) qu'aux demi-sphères, de rayon t et de centre (o, y, :?), situées du côté des x positifs, en ayant soin de doubler les sommes obtenues; et il viendra, pour Pintégrale générale cherchée de (3oo):

^=---7- / co(2X:^cosa)/(>' -h ^ cosp, >5 -+- /cosy) — — / co('iA-/cosa)F(j'H- ^cosp, 5-h ^cosy) Y

91. Réduction que comporte l'intégrale ^ quand le mouvement ne dépend que d'une seule coordonnée* — Supposons qu'une seule coordonnée, z par exemple, figure dans Téquation (3oo), ou que les

fonctions/, F, sous les signes / de (3o3), dépendent seulement de leur

seconde variable, ^h-^cosy» Alors si, adoptant pour coordonnées polaires de la sphère a, à partir du centre (o, y^ 5), un azimut 0,

compté de à - dans un plan parallèle aux x/, du côlé des x po-

sitifs, et une hauteur angulaire |jl, variable de à - > Ton pose

cosa = cosO cosfi, cosy — sinjjL, é/a = f * ces fx c?0 e/ji,

Tune quelconque des deu\ intégrales définies qui figurent dans (3o3) aura la forme

(^oî) / f{z-^ t%\n[L)tcoî>\kd\L l co(gi/Çcos6)rfe, où Ç = A» /* cos* ;ji î 1

Or on reconnaît ici, dans l'intégrale définie relative à 6, une fonction de Fourier ou de Bessel (*) dont nous appellerons, pour abréger, U(Ç) le quotient par ir. Ce quotient sera défini par son développement en série, bien connu,

OÙ les signes soit supérieurs, soit inférieurs, correspondent à ceux du

(') Voir, par exemple, le Volume précédemment cité de Calcul intégral, p. 3i3' et 3i4*, formules (92) et (g'i).

MAMÈRR DE LES INTÉGRER, DANS LE CAS d'uNB SKULK COORDONNÉE. 687

dernier terme de (3oo). Par suite, en posant

^sinfJi = T (d'où t CO8 {i dix = d-z) y rintégrale (So/J) se réduit à

n r /(z-^z)Vi/^^n—k^-J)dz;

et Ton en déduit aisément ce que devient Texpression (3o3) de <p.

En vue de ce qui suit, convenons d'appeler /• la coordonnée unique z figurant actuellement. Nous aurons donc, pour l'intégrale générale de Téquation

sous les conditions que les valeurs initiales de la fonction cp et de sa dérivée en t soient respectivement /(r) et F(r) :

Cette formule a été, sauf la différence des notations, obtenue par M. Henri Poincaré, pour le cas d'un ébranlement initial produit dans une région limitée et discontinu aux limites de cette région; on la retrouve, du moins, en dégageant les formules de M. Poincaré des complications qu'y introduisent ces hypothèses restrictives (*).

(' ) La Note de M. Poincaré a pour litre Sur la propagation de L'électricité: elle est aux Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences ( aO décembre 1893; t. CWII, p. 1027). L'éminenl analyste y intègre réqualion (3o7) par remploi de la formule de Fourier, suivi de Tindispensable eiïeclualion d'une des deux intégrations déGnies auxquelles conduit celte formule {voir, par exemple, à ce sujet de l'emploi de la formule de Fourier, mon Volume cilé ci-dessus de Calcul intégral, p. Sub' k 535*). A la séance suivante de l'Académie des Sciences {Comptes rendus, 2 janvier iSc/i, t. CXVIII, p. 16), M. Picard reprit plus simplement la même équation, par le procédé d'intégration de Riemann pour l'équation linéaire du second ordre à deux variables indépendantes. C'est dans les séances des 2a janvier et 29 janvier (même Tome des Comptes rendus, p. 162 et 223; t'o/r. aussi p. 271) que j'ai donné la méthode suivie ici, applicable avec la même facilité aux cas de deux et de irois coordonnées.

Dès l'avant-dernier siècle et vers le commencement du dernier, Laplace et Poisson avaient abordé la même équation aux dérivées partielles. Le premier Tavait prise sous la forme

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