ÉQUATIONS DE MOUYBMBNT NON HOMOGÈNES, MAIS DL SECOND OBDRE

Il est clair que les intégrations n*aboutiraient plus, par rapport à Tazimut 0, si celui-ci paraissait dans f^ F, comme il arrive lorsque ces fonctions dépendent de leur première variable ^H-^cosp, c'està-dire de / + ^cos(JisinO, et non plus seulement de leur seconde variable 2 + ^cosy ou 2 + ^sin(ji. Donc les intégrales définies que contient la solution, et qui deviennent simples dans le cas de propagation suivant un seul sens, restent bien essentiellement doubles dans le cas de propagation suivant deux sens, ou d'un milieu à deux coordonnées, du moins tant qu'on laisse arbitraire Tétat initial, exprimé par les fonctions/, F.

92. Même procédé, mais appliqué d'une autre manière, qui réussit pour un nombre quelconque de dimensions ou de coordonnées. — Passons maintenant au cas plus difficile d'un milieu à trois dimensions, où l'équation à intégrer est

Introduisant encore une variable, r, de plus que celles qui sont imposées, sous la réserve de lui attribuer finalement la valeur zéro, nous supposerons la fonction (p dépendante non seulement du temps /, mais aussi des quatre variables x, y^ ^, r, de manière à pouvoir regarder l'équation (809) comme résultant des deux équations simultanées, que nous savons intégrer séparément,

Alors, en vertu de la première (3 10) et de la formule précé-

qui se déduit de (3o7), quand 4^^? est le dernier lerme, en posant 9-=e***<l> : c'était ainsi Téquation des petits mouvements d'une corde qui éprouve à vibrer une résistance proportionnelle à la vitesse. La solution de Laplace {Mémoires de l'ancienne Académie des Sciences pour 1779, p. 278 et 279), seulement ébauchée, permet déjà d'entrevoir la forme du dernier terme de (3o8) et, par conséquent, le type essentiel du résultat : M. J. Delemer {Annales de la Société scientifique de Bruxelles, t. XXVI, 1901-1902, p. 87 ) a pu, après avoir vérifié sa parfaite exactitude, en tirer quelque parti, dans l'étude de la propagation de l'électricité le long d'un fil. Poisson réduit l'équation à sa forme simplifiée (3o7) et il en donne Fintégralc complète {Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de France, t. III, 1819, p. 162 à 168) : sa solution montre le rôle capital, dans la question, des intégrales prises sur toute la surface de la sphère, de rayon /, décrite autour du point (07= o, y =z o^ z =. r) comme centre; et de faciles transformations en déduiraient la formule (3o8).

(3iM)