MA.NIÈRE DE LES INTÉGRER DANS UN ESPACE A TROIS DIMENSIONS

dente (3o8) qui est son intégrale, Texpression générale de ^ sera, si nous appelons 4;(^,j,^, r) et V(a:,/, 5, r) les valeurs initiales respectives de cette fonction et de sa dérivée en /,

Nous disposerons donc de ce que les fonctions '^{Xy y, Zy r), V(j?,j, Zy r) se trouvent données seulement quand /':=o, alors qu'elles se réduisent à /(a?,/, z) et à F(j7,/, z), pour les faire varier avec r de manière que (p, s*il est possible, vérifie aussi la seconde équation (3io). Celle équation, identique à (298) sauf le changement de / en r, doit, dès lors, s'appliquer en particulier pour / infiniment petit et régir, par conséquent, les fonctions d'état initial ^{x^yy Zj r), ^{^yXi^y ')• Celles-ci auront donc comme expressions, d'après l'intégrale générale (299) de (298), où r remplacerait ^ et où 4; aurait pour expression soit/( jt,/, -5), soit F(a:, /, 5) :

'K^.r. 5,/-)= 7- ;j-. / /(ar-t-rcosa,^-+-rcosP, 5-hrcosY)— -H.

Je me suis contenté de représenter par des points, dans chacune de ces formules, une intégrale définie de même forme (avec un / ou F différent) que celle qui précède les points, mais non différentiée, comme elle, par rapport à r et, par cela même, fonction impaire de r destinée à disparaître des résultats définitifs, tandis que le terme écrit est une fonction paire de r (*).

Telles sont les expressions de ^z, V à porter dans (3ii), après y avoir remplacé r par r-t-x. Or la forme même, (3 11), de la valeur générale ainsi obtenue pour cp. montre que les dérivées de cp en ^, /,

5, r se calculeront par de simples différentiations, sous les signes / ,

des facteurs ^{x,y, 5, r + x), ^{x,y, 5, rn-x), relativement à leurs quatre variables Xy y, z, r -^ t. Et comme, d'après la relation que vérifient les expressions (3i2) de ^y ^j les trois dérivées secondes

(') Voir, par exemple, à ce sujet, le Tome, cité ci-dessus plusieurs fois, de Calcul intégral, p. 447'*

iWi)

54o ÉQUATIONS DE MOUVEMENT NON HOMOGÈNES, MAIS DU SECOND ORDRE :

directes ainsi obtenues en ^, y, z auront pour somme la dérivée seconde directe prise par rapporta la quatrième variable r-f-T, la deuxième équation (3io) se trouvera bien identiquement satisfaite, tout comme la première (3io). Donc Téqualion proposée (3o9) ne le sera pas moins.

N'ayant à faire usage de la solution (3ii) que dans le cas r = o, il suffira de remplacer r par x dans (3i2); et alors les termes de (3i2) non écrits explicitement, ou impairs par rapport à x, donneront, dans les intégrations faites de — < à ^, des éléments deux à deux égaux et conlraires qui s'élimineront du résultat. Au contraire, les termes pairs écrits fourniront des éléments deux à deux égaux et de même signe; en sorte qu'il suffira d'intégrer de t = o à t rz: ^, en doublant les sommes. Et il viendra, pour la solution demandée de (3o9) :

l <? = ; -yT / \}{k^t^—k^i'^)d'z-.- / /(x-4-x cosa,^-i-TCOs3, 5-t-T cosv) — - -^ T- I U(X-î/î— /«x»)^x-T- rF(j:-i-xcosa,jH-xcos3, ^-hxcosv/-^.

On voit qu'elle est exprimée par des sortes d'intégrales triples, tandis que les solutions précédentes (3o3) et (3o8) Tétaient par des intégrales doubles et simples. La solution de l'équation (3o9) dépend donc d'intégrales définies d'un ordre de multiplicité égal au nombre des dimensions du milieu, ou des coordonnées j?, y, z.

La formule (3i3) s'applique aussi, d'ailleurs, à ces cas d'une ou deux coordonnées, déjà exprimés par (3o8) ou (3o3). Car, pour empêcher, dans (3i3), la fonction <p de contenir certaines des variables Xy y y 5, et lui faire vérifier les équations auxquelles se réduit alors (3o9), il suffit d'admettre des données /, F d'état initial où n'entrent pas les coordonnées analogues de la région d' ébranlement, c'est-à-dire des données pareilles soit sur toute l'étendue de chaque plan (indéfini) perpendiculaire à l'unique coordonnée introduite, soit tout le long dtes droites, indéfinies, normales au plan des deux coordonnées subsistantes.

93. Identité nécessaire des résultats obtenus par les deux voies suivies, dans les cas de moins de trois coordonnées. — Les solutions ainsi déduites de la formule (3i3), pour les cas d'une seule coordonnée, appelée alors r, ou de deux coordonnées y et s, donnent d'ailleurs les mêmes résultats que les précédentes (3o8) et (3o3), spécialement adaptées à ces cas. En effet, quel que soit (entre i et 3) le nombre n des coordonnées jt, r, «, l'équation même (3o9) déter-