ÉQUITALKNCE DES EXPRESSIONS DIVERSES DE LEURS INTÉGRALES

mine la fonclion (p à loules les époques ty dès que Ton connaît, à une époque donnée / = o, les valeurs particulières /(jr, y, 5) de cette fonction et celles, F(j7,y, «), de sa dérivée première en C, Voici comment on peut le démontrer fort simplement, du moins quand on suppose «p connue à toute époque (dans l'espace à n dimensions où varient ces coordonnées) aux distances infinies de Torigine, c'est-à-dire astreinte soit à s'y annuler ou en toute rigueur, ou asymptotiquement, soit, d'une manière plus générale, à y tendre vers certaines valeurs finies, fonctions données du temps t et de la direction.

Gardons Téquation sous sa forme (809) quand le dernier terme a le signe inférieur, ou écrivons-ia, par conséquent,

n.4) '^,;=^«?-'iA*<p.

Mais, dans le cas contraire du signe supérieur -f-, posons «p ^ e*^'* ; ce qui, d'une part, conduit à remplacer (Sog) par l'équation en <l»,

(fi <\i ff^

et, d'autre part, donne, pour t nul.

Il revient donc au même de connaître initialement © avec sa dérivée

première en l, ou <I> avec sa dérivée analogue -^-i et aussi, d*ailleur^,

d'astreindre o à prendre certaines valeurs (pour chaque époque) aux dislances inOnies de l'origine, ou d'y astreindre *.

Cela posé, s'il existe, pour mêmes données initiales, deux solutions distinctes de l'équation (3i4) ou de l'équation (3i4 ^Z^), s'nnnulant ain-i à l'infini ou y tendant vers les mêmes valeurs, il est clair que leur dilTérence sera encore une solution de l'équation (3i4) ou (3i4 bis), mais une solution initialement nulle arec sa dérivée première en ty et évanouissante ( quelque soit t ) aux distances infinies de l* origine. Pour établir qu'une telle dilTérence se réduit nécessairement à zéro, nous avons donc à montrer que toute fonction continue o ou *ï», régie par l'équation (3i4)ou(3i4 bis) et astreinte, avec sa dérivée première en /, à s'annuler pour ^ = 0, restera indéfiniment nulle, pourvu qu'elle doive sans cesse s'évanouir en tous les points infiniment éloignés de l'origine.

Dans ce but, décrivons de l'origine comme centre, avec un ravon