ÉQUIVALENCE DES EXPRRSSIONS UIVERSKS DE LEURS INTÉGRALES

prendrait le signe de sa propre dérivée — -—^ — et que, de même, (p ou 4» prendrait le signe de -^ — - • Donc, dans les seconds membres

de (3i5), les produits figurant sous les signes / seraient, comme les

carrés <p', Ajtp, A^*, essentiellement positifs. Et en divisant par u les premiers membres de ces relations on aurait

D^ailleurs, lorsqu^on passe d'une figure <t, de rayon t, à la suivante de rayon t -f- û?t, les éléments da de la première peuvent, en se déplaçant de dt et se dilatant pour constituer la seconde, être censés compris toujours entre les mêmes droites émanées de l'origine ; de manière que chacun reste une même fraction de la figure totale a, et que ses points se déplacent le long de normales égales dv. Alors l'élément

(©*,4>') — de l'intégrale / (<p* ou *') — a, pour sa dérivée en t, — ^^-^ — ; et le premier membre de (3i6) est la dér

èrivee en v

(<p' ou **) — > c'est-à-dire de la valeur moyenne de tp* ou $•

sur toute l'étendue d'une figure <t. Ainsi la relation (3i6) revient à écrire

(317) -T- (valeur moyenne de îp' ou de *•) > o.

La valeur moyenne de la fonction, essentiellement positive, 9* ou **, à la distance t de l'origine, ne peut donc que croître avec v, si elle cesse d'être nulle. Et comme un tel accroissement est rendu impossible par l'annulation supposée de o* ou de <l>* à l'infini, on a bien, identiquement, ^' = 0, 4>* = o à toutes les époques t positives, les seules dont on ait à s'occuper quand l'époque ^=1 o a été celle d'un ébranlement dû à des causes extérieures, à un trouble mettant momentanément en défaut l'équation aux dérivées partielles du problème ou rompant la continuité du présent avec le passé du système (*).

(*) J'avais déjà fait usage de ce genre de démonstration, sur des exemples plus simples, par exemple, dans le Volume, consacré au Calcul intégral^ de mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique ( Compléments, p. 385* à 387*).