ÉQUATIONS BK MOUVEMENT NON HOMOGÈNES, MAIS DU SECOND ORDRE

Dans le cas contraire, où l'état choisi comme initial ne serait que la suite des étals antérieurs, le problème se trouverait également déterminé pour les valeurs de t négatives. Il nV aurait même rieo à changer au raisonnement, en ce qui concerne la première formule (3i5) ou, par suite, l'équation (3i4). Car, pour t décroissant

à partir de zéro, -j!-, dès qu'il cesse de s'annuler, prend signe con-

traire a —rjy et, «, signe contraire a -y^; en sorte que le produit

îp Tycst encore essentiellement positif dans la première formule (3 15).

Quant à l'équation (3i4 bis)^ et à la seconde (3i5) où, sous le

signe / ,1e produit*— devient négatif, on peut y observer, eu

appelant t^ l'instant où * commencerait à ne plus s'annuler, que le

d^ r^ (P^ facteur-"- = i ——-dt est alors très petit (en valeur absolue) de-

dt J^^ dt- ^ ^ ^

vanl --— - : chose évidente (à cause de j dt alors infinimeiit petit)

quand -7-5- diffère initialement de zéro, mais vraie aussi quand -vy

parl et s^écarle de zéro, car alors on a

I / r '^' "^ "777 / ^' (en valeur absolue).

d^ Donc le terme négatif 4/:* -7- > où l'on suppose k fini, est masqué,

dans la parenthèse de la seconde relation (3i5), parle terme posi-

lit 4> -j-f9 et la fonction continue <l> ne peut à aucun moment, pas

plus que dans les autres cas, différer de zéro.

dk. Vérification de cette identité. — L'unité de solution du problème étant ainsi établie, nous devons pouvoir, dans les cas d'une et de deux coordonnées, réduire à la forme correspondante (3o8) ou (3o3) l'intégrale plus compliquée (3i3).

Celte réduction se fait immédiatement quand les fonctions/(x, j', z), ^{jCjfyZ) ne dépendent que d'une coordonnée, ^par exemple. Car, si l'on décompose la sphère <S7zz ^tzt^j par des plans parallèles aux j^z,