X -X *^JP — T

Or la règle de difierentiation des intégrales donne, pour la dérivée en T de ces expressions,

2Tt[/(a7 4-T)H-/(.r — t)], 27r[F(a:-Hx)-hF(ar— t)].

Et il suffît, après substitution de celles-ci dans (3i3), d^observer que

f(a: — t), F(j7 — t) peuvent être supprimés, sous le signe / , à la

condition d'étendre le champ des intégrales aux valeurs négatives de T allant de — ^ à zéro, pour avoir

uy

x^'z)\}{k^l^—k^i^)dx.

C'est précisément la formule cherchée (3o8), sauf le remplacement de r par x,

La réduction de (3i3) à (3o3), dans le cas des deux coordonnées/, 5 où /et F cessent de dépendre de j?H-Tcosa, ne s'effectue pas aussi simplement. Voici comment on peut l'opérer.

Chacune des deux intégrales fîgurant au second membre de(3i3) se dédouble immédiatement, grâce à une intégration par parties dans

laquelle on prend le potentiel sphérique / pour facteur intégré, en deux

intégrales, relatives, l'une (terme intégré) aux divers éléments de la surface a de la sphère de rayon t décrite autour de {oc^y^z) comme centre, l'autre aux divers éléments dm =. d'z da, à coordonnées ^ -h x, j-hy, 5 -h z, du volume m de cette sphère, décomposée en couches sphériques concenlriques /\'Kz*d'z ou (sdz. Des deux expressions exactement pareilles ainsi obtenues, celle, par exemple, où fîgure la fonc- B. — 11. 35

546 ÉQLATIONS DE MOL VEXENT NON HOMOGÈNES, MAIS Dt SECOND ORDRE :

lion arbitraire / est 1 vu que U (o ) = i , d'après (3o5 ), et que le potentiel sphérique / s'annule pour t =: o

j /( rr -i- / cos a, y -\- t cos p , ^ -h / cos y ) — -\-ik^ 1 V (k^n— /r-'J )f{.r -h Ti,y -^ y, z -h z) dm.