US

Cela posé, quand jr=;o et que /se réduit &/(/-!->', ^ -Hz), il y a symétrie de part et d'autre du plan des/5; et il suffit d'intégrer pour la demi-sphère située du côté des a; positifs, en doublant les résultats. De plus, le volume Jw peut être décomposé en filets élémentaires

ciydz I d\ parallèles aux x, ayant pour leur base dy dz, sur le plan

des yzy la projection correspondante, é/acosa, de l'élément d<j de sphère découpé à leur extrémité, d'abscisse xzzr^cosa, et auquel aboutit le rayon l défini en direction par les deux cosinus directeurs

COSp = -» cos Y — - •

La fonction /(y H-y, cH-z) étant/(/-h^cos?, z -t- ^cosy) sur toute la longueur d'un filet, et U'(A*/* — /»:*x') y ayant la valeur variable U'(A:«^*— ^«x« — A*y*— A«z«) ou U'[X:'^«(i — cos'p — cos^Y) — Â-^v*]. c'est-à-dire U'(A*^*cos'a — A*x-), l'expression (3i8) devient aisément

La quantité entre crochets, si l'on pose, pour abrégef, kt cosa^zz A,

Ax = X, n'est autre que i-f-aA / U'(A' — X*)^^; et elle prend la

forme suivante, quand on y remplace la fonction dérivée U' par son développement en série déduit de (3o5) :

!,,= r (A«~XM"t/X.

ÉQUIVALENCE DKS EXPRESSIONS DIVERSES DE LECRS IM'É(iKALES. 647

Or une intégration par parties^ eflectuée sur I» avec X pour facteur intégré, donne

(pour/i>o) \„=inf Xî(A*— X^)"-»^ = 2/i(AM„,— I„);

d'où la formule de réduction