I„-.^-?-^;-VM.,

Il en résulte, à partir de l^m A, (3a,fc«) I.= ^A3, f.= 33A., .... I„= ___L A»-, ...,

et, enfin, par substitution de ces valeurs dans (820), la série

Le terme général, abstraction faite du signe, est

On reconnaît, dans cette série, le développement de co(2A) ou de co(2A^^cosa).

Et l'expression (Sig) devient bien, comme il le faut d'après la formule (3o3) qu'on veut obtenir,

co('aA7 cosa) /(j' -+- t cos^, z -h t ces y) — '

95. Conséquences physiques les plus simples de Tintégration effectuée : propagation uniforme du front de l'onde. — Puisque l'intégrale (3i3) convient quel que soit le nombre des coordonnées ^, r, *, nous pouvons nous en servir, tout au moins, pour arriver aux lois les plus simples du phénomène, quand même la propagation se ferait suivant une ou deux dimensions seulement. Il suffira d'admettre alors, comme il a été dit, des données pareilles sur toute l'étendue de chaque plan perpendiculaire à la coordonnée introduite, s'il n y en a qu'une figurant dans l'équalion, ou tout le long des droites normales au plan des deux coordonnées en évidence, s'il y en a deux.

Cela posé, considérant l'expression (3i3) de <p (p. 54o) au point quelconque (^,/, 5) de Tespace, et appelant X, Y, Z les coordonnées

548 PROPAGATION UMFORME DL FRO^T DE l'o>DE *.

d'un élément de la région d^ébranlement, demandons-nous à partir de quelle époque t les circonstances d'étal initial qui concernent cet élément, ou représentées par les valeurs/(X,Y, Z), F(X, Y, Z), relatives au point (X, Y,Z), de /et de F, commenceront à influer sur Tétai physique ^ en (.r,/, 5). Il faudra évidemment, pour cela, et il suffira, en général, qu'un point

(ar-f-T cosa, j^ -I- Tcosp, 5-i-tcosy)

des sphères sur lesquelles se font les intégrations / dans (3i3) coïn-

cide avec (X, Y, Z), ou que la distance du point (J?,y, z) à Télémenl (X,Y, Z) de la région d'ébranlement n'excède pas le plus grand rayon t de ces sphères.

L^influence des circonstances initiales produites en (X.Y, Z) se propage donc, tout autour, avec la vitesse même, r, de la lumière, évaluée comme s'il n'y avait pas, dans l'équation aux dérivées partielles, des termes respectivement proportionnels au déplacement et à la vitesse, ou que l'on eût k=zo dans (Soq). Mais, une fois qu'elle a commencé à se faire sentir quelque part, elle y persiste généralement durant un temps indéHni; car les sphères qui interviennent dans la formule (3i3) ont des rayons t de toutes les grandeurs allant de zéro à t] et celle d'entre ces sphères qui, passant par (X, Y, Z), y a figuré une fois ne cesse plus désormais de le faire, tout en ayant dans le résultat (3i3) une part variable avec le facteur U(k^l^— k'-z^).

96. Calcul direct et simple de cette vitesse de propagation du front ou de la tète de l'onde. — Hugoniot a montré (') que. lorsque Ton se borne à l'étude de la tête d'une onde progressant dans un fluide en repos, il existe, en eff'et, pour la vitesse de propagation, même sans que l'équation du mouvement soit linéaire (sauf par rapport aux dérivées les pins élevées qui y figurent), une formule générale, facile à déduire de celte équation du mouvement. Voici à quels termes simples peut, ce me semble, se réduire la démonstration de ce fait, soit pour une onde, soit môme pour un changement quelconque u d'état physique (température, densité, vitesse, déplacement, etc.), se produisant, dans un milieu matériel dont une région garde encore son état primitif uniforme, à la surface d'envahissement de cette région par le changement u survenu dans l'autre.

(') Comptes rendus de l^ Académie des Sciences de Paris j t. CI, p. 794; ^6 octobre i885.