CALCUL DIRECT ET SIMPLR DE CETTE PROPAGATION

Imaginons qu'on ail pris, en le dirigeant vers la région encore Iranquille, un axe des x normal à la surface en question, sensiblement |dane; et admettons (ce qu'on pourra généralement faire dans des rlendues assez restreintes), d'une part, Thomogénéilé du milieu^ c'està-dire la constance de ses coefficients physiques, d'autre part, l'uniformité de u sur chaque couche parallèle à la surface, ou sa dépendance de X et de ^, à l'exclusion d'autres variables.

Dans la région récemment envahie, le changement naissant u aura ses dérivées premières, en x ou t, incomparablement plus grandes numériquement qu'il n'est lui-même; car il constitue leur intégrale

/ --T—dx ou / -j-dt^ prise à partir ou de la tête de Tonde jusqu'en

(x, j', z)^ ou de l'instant de la cessation du repos au point (j:, j, z)

jusqu'à l'époque t actuelle, c'est-à-dire dans un champ 1 dx ou 1 dt

infiniment petit; intégrale toujours inférieure (quant aux valeurs

absolues) au produit de la dérivée considérée -; , en train de

s'éloigner de zéro, par le champ / dx ou / dt. Pour la même raison,

ces dérivées premières de w y sont très petites, par rapport aux dérivi*es secondes dont elles constituent des intégrales analogues; ces dérivées secondes sont, de même, très petites à côté des dérivées troisièmes; et ainsi de suite, jusqu'aux plus élevées de chaque espèce (en X ou en t) figurant dans l'équation du phénomène, seules susceptibles, dans cette équation, de varier sans continuité, ou de débuter par une valeur sensible. En effet, la loi du phénomène n'aurait plus de sens, si certaines des dérivées qui y figurent n'existaient pas, comme il arriverait aux moments où les plus élevées de chaque tîspèce, en ^ou ^, que nous supposerons d'abord être du même ordre, le /i**"**', auraient leurs intégrales (dérivées d'ordres inférieurs) disronlinues.

Donc Téquation donnée, aux différentielles partielles, si elle est linéaire par rapport aux dérivées du n'^^"" ordre, et qu'elle contienne assez de ces dérivées du w'èn»o ordre pour que toutes les dérivées d'ordre moindre y figurant aussi en soient des intégrales, pourra être réduite, près de la tête de ionde^ à ses termes affectés des dérivées d'ordre /i, dans lesquels d'ailleurs il sera permis d'annuler la fonction w et ses dérivées d'ordres moindres, comme on l'aura fait ainsi dans tous les termes supprimés; et, cela, avec une approximation relative d'autant plus grande, qu'on se tiendra plus rapproché de la

55o CALCUL DIRECT DE LA PROPAGATION DES TÊIES d'o.NDE; CAS DIVERS

région où u un o. L'équation du problème j deviendra par conséqueot linéaire, à coefficients constants, et homogène quant à i'ordre des dérivées de u y figurant. Soit, alors,

cette équation réduite. On y satisfera par des intégrales particulières de la forme u zz^/{,r — w/), avec/ fonction arbitraire et to racine de Téquation algébrique du A^•*™« degré

(325) a — btoH-coi' — ...= o.

U suffit donc, d'une part, que celle-ci admette une racine w réelle et positive, d'autre part, que /(^) exprime, à l'époque / = o, le changement u aux environs de la surface séparative (mobile), pour que la propagation eflTective du mouvement en ces points soit ou, du moins, puisse être exprimée elle-même, à très peu près, par Tintêgrale /{x — co/), évidemment représentative d'une propagation uniforme de célérité lo. Et il est clair qu'alors les termes de l'équation donnée du problème supprimés préalablement, ou alTectés de u et de ses dérivées des n — i premiers ordres, n'influent nullement sur cette célérité o) de la lête ou du front de l'onde.

Lorsque les n racines de l'équation (325) sont réelles et qtrune seule est positive ou correspond à un mouvement propagé vers les jc positifs, l'intégrale générale, somme des n solutions particulières, représente la superposition de n ondes, dont les /i — i émanant de la région des x infinis positifs sont annulées par la condition de repos primitif de cette région, en même temps que la partie la plus antérieure de la /i'**"*. Donc l'expression f(x — tut) de m, pour la tête de l'onde, devient alors non seulement possible, mais inévitable. Tel est le cas de la corde vibrante, où /i = 2, et qui constitue le tjpe simple de la plupart des phénomènes ondulatoires.

La méthode cesse d'être applicable quand une dérivée de w, d'ordre inférieur à n, figure dans l'équation et que les dérivées /«'*"•■ de u dont celle-là pourrait être intégrale y font totalement défaut, comme, par exemple, quand l'équation, du second ordre, contient, ainsi qu'il

arrive dans la théorie analytique de la chaleur, — > sans contenir au-

cune des deux dérivées -^ --r- Car, alors, cette dérivée, d'ordre

d(jc, t)dt ' '

inférieur à /i, n'est masquée par aucune autre dérivée dans l'équation; et elle y subsiste pleinement, si près qu'on soit de la lête de

D*ÊVANOriSSBMEMT DE CES TÊTES OU DE RACCORDEMENTS ASYMPTOTIQUES. 55 I

Tonde (où rien, d^ailleurs, ne l'oblige à varier graduellement). En réalité, il n'y a, dans ce cas, réellement plus de tête, dès que la propagation a commencé, la fonction u ne s'y annulant d'une manière continue que pour x infini. Essayons, sans entrer dans les détails, de le reconnaître par la même méthode, en recourant, pour suppléer à son insuffisance, au sentiment de la continuité des phénomènes naturels.

Supposons que la dérivée, d'ordre /i, absente de l'équation du

d"* Il d'^ u

problème soit ou -j — > ou -7-^ • Suivant que c'est la première ou la

seconde, introduisons fictivement dans (324)» pour rendre la méthode

applicable, un terme de la forme e -; — , ou de la forme e— r-i-> aver

«j7'* at^

e très voisin de zéro. L'équation (325) aura, dès lors, ou e pour premier terme, ou zteto'» pour dernier terme du premier membre. Et l'évanouissementfînal de e donnera lieu à une racine, to, nulle dans le premier cas, infinie dans le second. Or, dans le premier cas, où la léte de l'onde, si elle existait d'une manière continue, serait ainsi immobilisée (vu a):=o) en un certain point d'abscisse x, u et ses dérivées en t s'y annuleraient identiquement, sans qu'il en fût généralement de même des dérivées de u en x ou, du moins, de la plus élevée entrant dans l'équation proposée; et celle-ci ne se trouverait pas satisfaite. Dans le second cas, la lêle de l'onde, animée d'une célérité (o infinie, serait instantanément portée jusqu'aux abscisses x infinies. Tant dans un cas que dans l'autre, le raccordement de l'état primitif uniforme w=ro avec l'état troublé variable u se fera donc asympto tique ment, aussitôt après le début du phénomène (*).

(•) C'est bien ce que montrent, quand l'état initial u^ = /(x) s'annule pour les grandes valeurs positives de j:, les intégrales obtenues dans ce Volunae [p. 87, form. (^2), et p. 7, form. (8)] pour les deux équations

d^ u du du d^u

HF ~ dx' 'dt ~ 'dx^'

qui sont vraisemblablement les plus simples offrant les particularités considérées ici. On a pour ces deux intégrales, en remplaçant, d'une part, a par a yf^y d'autre part, <ù par a, et en échangeant d'ailleurs j: et ^ dans la première :

^^'r- f e-v(^-A)^», u = ~ f'e '*/{x-^7zft)doi,

V Tt «/o ^ ^ * / V x J- «

Prenons-y, par exemple, /(j:) nul pour x positif, égal à 1 pour x négatif et très rapidement décroissant de i à zéro pour x voisin de zéro. Ces deux for-