QUEUE D*UNE ONDE ISOLÉE, DANS LB CAS

Ainsi, le fadeur (33i), dont le produit par F(R)e/R donne la partie du déplacement Ç due à l'élément dK de la région d'ébranlement, admet l'expression asymptolique

Son évanouissement, quand t grandit, se fait avec une extrême lenteur ; car dès que t excède assez t pour que l'on ait sensiblement

^,U^-A^.^.= ki(,-^,),

l'expression (332) devient, à très peu près, en supposant kx d'abord comparable à y/^7, puis, finalement, petit même devant y/H,

Ax\

et l'on voit qu'elle décroît, environ, comme l'inverse de e ' 0Û en premier lieu, puis, comme l'inverse de y/AY, lorsque kz commence à

s'efFacer devant ^kt ou que la fraction devient petite.

Toutefois, cette excessive lenteur, d'autant plus accusée que se trouve moindre le coefficient k de résistance, est, à proprement parler, celle de l'action des frottements pour neutraliser l'impulsion due à une certaine quantité totale de mouvement, initialement imprimée au milieu dans la région des ébranlements; et il ne faudrait pas l'attribuer au rétablissement même de l'équilibre à l'arrière ci* une onde non accompagnée d'impulsion. En effet, l'expression asymptotique totale de î, produit de (333), par F(R)c^R, intégré dans toute la

région 1 dR d'ébranlement, pourra, pour kt assez grand, s'écrire à

très peu près, d'abord, tant que Ax sera comparable à sfki^

\^ TZ kt

et finalement, lorsque spTt deviendra grand, même à côté de kz, ou que le dernier membre de (333) sera applicable,

(334 bU) \ = '^ ---^. ^JL^ / F(R)T» rfR.

d'lne résistance proportionnelle a la vitesse. 555

Or, quand on ébranle le milieu conrimey au fond, nous le supposons ici, en communiquant à la région ébranlée de simples vitesses initiales sans déplacements simultanés sensibles, la fonction F(R) exprime justement ces vitesses, d'après une indication donnée à la suite de la formule (297) (p. 533); et Tintégrale / F(R)6fR représente, à un facteur constant près, V impulsion d'ensemble ou la quantité de mouvement imprimée au milieu.

Si elle diiïère de zéro, on a bien, sensiblement, pour t assez grand,

fv{^)dK

\ y,^T.kt

et Tévanouissement de ? se fait avec la lenteur dont il s'agit.

Mais, au contraire, dans le cas d'actions intérieures, telles que celles, par exemple, d'un phénomène chimique ayant eu pour théâtre

la région d'ébranlement, l'intégrale 1 F(R)^ s'annule; et l'expression (334 bis) de \ devient

Elle décroît donc, sensiblement, comme l'inverse de iy^, et d'aulant moins que \fk est plus grand, ou que le coefficient de frottement H est plus fort.

On conçoit, en effet, que, dans le cas d'une impulsion, où le déplacement imprimé aurait été permanent, cfe/z/if//:/, sans la présence des frottements, ceux-ci demandent d'autant plus de temps pour l'annuler, c'est-à-dire pour remettre dans leurs situations initiales les particules du milieu, qu'ils sont plus faibles; mais que, dans le cas contraire où il n'y a pas d'impulsion et où, sans les frottements, l'onde aurait été nettement délimitée à son arrière, le rétour à l'équilibre primitif se trouve d'autant plus retardé que les frottements sont plus grands.

Quand on donne des déplacements initiaux Ço=:j^(R) sans vitesses

simultanées, cas où la somme 1 f{R)dR s'annule de même si ces

déplacements ont été produits par des vitesses (rapidement acquises

et rapidement disparues), à valeur moyenne nulle ou dues à des

actions intérieures, la solution est un peu moins simple, parce que,

a' H d'après ce qu'on a vu à la suite de (297) (p. 533), F(R) y vaut Ço

L J iâti/T.f

556 QUEUE d'une 0-NDK ISaLÊK, DANS LE CAS

OU 2X/(R); en sorte que la formule (3o8) (p. 587) garde tous ses termes. On y observera que la valeur asjmptotîque (SSa) de (33o) donne, sauf erreur relative négligeable,

coh(2>/A-2/J-A-î-:îcose)rfô= -^

d'où il résulte (p. 553), encore sauf erreur relative négligeable, pour les fortes valeurs du radical ^k^f^— A^x',

^' v/tiv/A^^-^A--'-

On différentiera en t le second membre, pour avoir l'expression

^ -dt ^

de «p, terme qui sera

de — ^ — ^^ — -7 à porter dans le premier terme de la formule (3o8)

-dt ^^'

et Ton évaluera ensuite ce terme en série, de la même manière qu'on a fait pour arriver aux formules (334) et (334 his). La dérivée en t de U(Â-*/' — k^x') se trouvera ainsi réductible à siA-U(/:'^- — A*-:'); ce qui rendra la première partie de Texpression (3o8) de ç égale à la seconde et donnera finalement, au lieu de (334),