VIT

puis (^ grandissant toujours), au lieu de (334 ^'*)j

On voit que, à part le facteur k en plus aux numérateurs, ces formules impliqueront le3 mêmes conséquences que (334) et (334 6/0 (»).

(M Cas d'une résistance proportionnelle au déplacement. — Les résultats sont un peu moins simples quand la résistance étudiée est proportionnelle au déplacement Ç, non à la vitesse, ou lorsqu'on a, dans les formules de la page 532, H = o, a > o, ^ = 9, et que, par suite, les formules des pages sui-

D*LNE RÉSISTANCE PROPORTIONNELLE AU DÉPLACEME>T. 667

98. Complications à l'arrière de Tonde , dues à la non homogénéité de Péquation du mouvement; conséquences qui en résidtent au point de vue de la netteté des sensations. — F)n résumé, et comme Ta reconnu M. Poincaré pour les mouvements régis par la solution (3o8), les ondes élémentaires émanées de chaque point de la

vantes, savoir (297), (3oo), etc., doivent être prises avec les signes inférieurs. Alors le cosinus hyperbolique se trouve remplacé par le cosinus circulaire dans la fonction U({;), devenue ainsi :

u(;) = - f cos(2v;cose)rfe.

Or l'expression asymptotique de cette fonction est

( pour Ç très grand ) U ( Ç ) = ->=^ cos ( 2 l/^ — 7- ) ,

comme on peut voir par la formule (26) de la XXXI* Leçon de mon Cours d 'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique ( t. II, Compléments, p. 154*). II vient donc, pour / assez grand, dans l'expression (3o8) de f (p. ïS;), en supposant finalement kx comparable à \/Atj

et, au même degré d'approximation,

^U(*'.'-*'x')=-yZsin(,A.-|-il!).

L'expression (3o8) de «p est alors, sensiblement,

i -h -4== rF(R)cos('2A/-^- ^'V*^-

f 2^^irFtJ \ 4 ' /

On la traitera comme les piécédenies (334) cl (336), qui ont donné (334 ^'•*)

et (336 bis)^ aux distances t des éléments e/R de la région d'ébranlement assez

kx^ modérées pour que la fraction soit petite devant l'unité. Cela permettra, à

ces distances, de dédoubler, sous les signes / , le sinus et le cosinus qui y

figurent en

(sin ou cos)(2Ar^ — t- ) qi —-(ces ou sin)(2A7— y)'

On voit qu'alors l'expreasion de 9 (ou de ^) se composera de quatre parties,

558 LE PLUS ou MOINS DE NETTETÉ DES SEKSAT. DUES A UN MOU\ . VIBRAT.,

région d^ébranlement ont à leur avant un front nettement défini, animé de la vitesse ordinaire de propagation de la lumière, mais à leur arrière une queue sans limite précise. Par suite, quand les ébranlements se répètent à de très courts intervalles, les mouvements successivement émis à partir d'un même endroit, ou par un même corps qui y vibre (*), se mêlent et se confondent en arrivant au point quelconque (^, /, 5) de Tespace, puisque chacun d'eux y trouve des restes de ceux qui l'ont précédé.

Ainsi il suffit, en général, de résistances ou d'actions perturbatrices comme celles que nous considérons ici, pour empêcher, dans les mouvements transmis, cette merveilleuse conservation au loin que permet l'équation ordinaire (298) (p. 533) dans les milieux à une ou à trois dimensions, des particularités infiniment diverses affectant ces mouvements dès leur source d'émission et caractéristiques du corps qui la constitue. On ne saurait trop admirer une telle conservation et surtout ses conséquences psychologiques; car elle fait de la vue et de Vouïe, c'est-à-dire de nos deux sens se rapportant à des phénomènes régis par l'équation (298), les sens intellectuels par excellence, aptes à nous procurer des sensations aussi variées que nettes et, par suite, à

tlont deux, affectées respcctivemcnl, en coefticicnt, de

r/iï{)dl\ ou de A(R)rfa,

seront comparables aux inverses de y/Z, mais s^annuleroni, avec leur coefficient respectif, dans le cas d'ébranlements causés par des actions intérieureSf tandis que les deux autres, ayant en coefficient

r/{\\)'z-dï{ ou rV{\{)x^d[\,

seront de l'ordre de petitesse des inverses de t>Jl. Le décrolssenïcnt des valeurs de ^, pour des temps t croissants, est donc comparable à ce qu'il était dans le cas d'une résistance proportionnelle à la vitesse; mais ces valeurs de Ç. au lieu de tendre sans cesse vers zéro comme précédemment, oscillent indéfiniment^

avant de s'évanouir, autour de celle limite zéro, avec une période, t.» égale,

d'après (296) (p. 535), à 2- 4/-^ 1 ou inverse de la racine carrée du coefficient a de rési>tance.

(') Afin de rendre la question accessible, nous supposons, on le voit, comme au n" 27 (p. 338), que le corps vibrant agit sur le milieu élastique par une suite d'impulsions infiniment brèves, dans l'intervalle desquelles il disparaît ou est comme anéanti. En réalité, sa présence continue exigera la vérification de conditions spéciales à sa surface et apportera dans le phénomène de nouvelle* complications.

EN RAPF. AV. LK PLUS OL MOINS d'hOMOGÉNÉITÉ DES ÉQLAT. DE CK MOl'V. 559

nous fournir les plus précises et les plus riches de nos connaissances sur l^univers, en même temps que des signes assez distincts et assez .nombreux pour nous permettre d^exprimer dans peu dUnstants ou sur de petits espaces, par la parole, récriture, le dessin, et même par représentation intérieure damages ou de mots fixant l'esprit, nos idées de toute nature (*).

99. Comparaison, à cet égard, des sensations auditives et visuelles* — Sous ce rapport, le sens de la vue est, à certains égards, inférieur à celui de Touïe, en raison de la dispersion de la lumière dans les milieux pondérables qui, due à de petits termes complémentaires, non homogènes avec les termes principaux des équations de mouvement, tend, par Tinégalité des vitesses de propagation qu'elle introduit, à résoudre les ondes lumineuses en mouvements pendu> \a\resj séparés dans l'espace. Mais cette infériorité est heureusement atténuée par diverses circonstances. Deux d'entre elles sont la petitesse même de la dispersion dans l'air où nous vivons et l'excellent achromatisme de l'œil pour les radiations qu'il n'absorbe pas. Une troisième, rentrant peut-être en partie dans la précédente, consiste en ce que les résistances passives, inévitables dès qu'intervient dans les mouvements de l'éther la matière pondérable avec sa structure moléculaire cpmpliquée, régularisent sans doute les vibrations lumineuses, en annulant très vite ou à faible distance, dans toute agitation de période donnée, les termes de la série correspondante de Fourier autres que le premier, ou à périodes sous-multiples de la sienne et.

(*) J'ai présenté avec plus de.délails ces considérations de Philosophie naturelle, relatives à l'équation ordinaire du son comparée à celles d'autres phénomènes, dans un Volume (de i885) Sur l'application des potentiels à l'équilibre et an mouvement des solides élastiques, etc. (p. SSg, 3io, 696) et dans la partie, consacrée au Calcul intégral, du Cours d'Analyse injinitésimale pour la Mécanique et la Physique (fascicule élémentaire, p. 20^; Compléments, p. '548* à 4^1* )• J'ai remarqué d'ailleui-s. dans le mûme fascicule de Compléments du Calcul intégral (p. 4^^* ) cl, anlérieurement, à la page 64^ de V Application des potentiels, etc., que les ondes élémentaires régies par l'équation ordinaire du son, dans un milieu plat ou à deux coordonnées, laissent à leur suite un faible reste d'agitation, nuisible à la netteté de celles qui, supposées issues des mômes centres, viendraient peu de temps après elles.

La limitation précise de chaque onde, tant à son arrière qu'à son avant, dans un milieu homogène parfaitement élastique ayant longueur, largeur et hauteur ou profondeur, tient à cette circonstance, assez particulière, que la solution générale des équations du mouvement s'y exprime, comme on le voit, par la formule (299) (p. 533), au moyen d'intégrales de surface ou doubles^ malgré les trois dimensions de l'espace où l'onde progresse.

56o COMPARAISON DES SENSATIONS AUDITIVES ET VISUELLES.

par suite> à longueurs d'ondes plus courtes, donnant bien plus de prise aux résistances dont il s*agit, par le fait même de cette brièveté (^). Les mouvements, dès lors pendulaires, admettent, en effet, comme expressions, les parties réelles des solutions symboliques de Cauchy, à exponentielle imaginaire, pour lesquelles sont en quelque sorte homogènes (comme on a vu p. 878, 4^9, 49^, etc.), toutes les équations linéaires à coefficients constants.

Enfin et surtout, l'excessive petitesse des ondes lumineuses permet à leurs amplitudes de varier beaucoup dans de minimes espaces et, néanmoins, graduellement, ou sans altération de leurs lois simples, c'est-à-dire sans se compliquer de phénomènes notables de diffraction : d'où résulte une localisation extrême des impressions lumineuses sur les diverses parties de la rétine et, par suite, une précision ou finesse de détails, presque infinie, de leur correspondance avec les objets extérieurs qui les causent. A quoi il faut ajouter que la brièveté prodigieuse des périodes vibratoires amène la fusion complète, pour la sensibilité, des impressions successives produites en un même point de la rétine durant un court instant, de manière à ne laisser percevoir qu'une moyenne, incomparablement plus constante que ses éléments, et à donner ainsi une sensation uniforme ou régulière, malgré le désordre, l'incohérence possible, de l'agitation intestine dont cette sensation constitue le retentissement conscient en nous.

(•) Il en est, du moÎDs, ainsi dans les fluides à l'état de mouvement, pourvus de petits frottements intérieurs, comme l'eau ou l'air, et qui servent si bien de type à l'élher vibrant dans les corps. Par exemple, une houle complexe et confuse, née, ou incessamment émise, sous l'action du vent, dans une région déterminée de l'Océan, devient régulière au loin en s'y débarrassant de ses ondes courtes, harmoniques (en quelque sorte) de la houle fondamentale produite, et dont l'extinction successive se fait à des distances respectivement proportionnelles à la cinquième puissance de leurs périodes, quand elles avaient hauteur initiale pareille {Comptes rendus de l* Académie des Sciences de Paris, t. CXXI, p. 85; 8 juillet 1895).

Je dis d'ailleurs que cette troisième circonstance simpliiicatrice des phénomènes optiques, savoir l'absorption inévitable, par les corps, d'un grand nombre d'harmoniques des radiations émises, rentre en partie dans la deuxième, qui est l'achromatisme de l'œil, parce que cet achromatisme, consistant dans l'égalisation . des temps totaux que mettent les rayons de diverse période à se transmettre de la pupille à la rétine par les trajets respectifs de durée minimum, serait probablement impossible, s'il devait avoir lieu pour la totalité ou seulement la majeure partie des radiations émises par la plupart des corps; tandis qu'il devient possible, à un assez haut degré d'approximation (dans la mesure où la nature est parvenue à le réaliser), pour celles d'entre elles dont les périodes sont comprises dans une étendue restreinte, grâce justement à Tabsorption de toutes les autres radiations par les milieux de l'œil.

COMPARAISON DBS SENSATIONS AUDITIVES ET VISUELLES. 56l

Toutefois, les divers avantages de la vue sont, peut-être, largement compensés, pour Touïe, par la simultanéité de transmission, dans l'air, de tous les sons d^amplitude modérée produits ensemble, qui rend possible, ou indépendante de la distance, cette sorte de perception des formes simples composant un mode de vibration, qu^est le sentiment de V harmonie (^). Faut-il expliquer par celui-ci non seulement la variété, tant syllabique que symphonique, mais aussi la puissance, la profondeur, la vivacité incomparables des impressions que sont susceptibles de produire en nous le langage et la musique? Il serait bien difficile de le dire.

100. Étendue très restreinte de l'échelle des périodes, pour les radiations visibles. — Une raison un peu autre que Texti notion rapide, par les milieux extérieurs, des harmoniques de chaque radiation principale émise, peut encore expliquer pourquoi, en Optique, ces harmonique:^ sont loin d'avoir un rôle aussi considérable ou aussi apparent qu'en Acoustique. Elle consiste en ce que toute Péchelle des lumières simples perçues par noire œil, depuis le rouge sombre jusqu'au violet extrême, n'atteint pas une octave complète. Il suffit donc que nous apercevions la partie fondamentale d'une radiation émise par un corps, pour que toute période sous-multiple de la sienne^ c'està-dire la période d'une quelconque des radiations harmoniques, sorte des limites de notre sensibilité visuelle. Et la même exclusion s'applique à la radiation fondamentale dont nous apercevrions la première harmonique, celle dont la période est moitié de la sienne; en sorte que des harmoniques de radiations nous échappant pourraient, seules, impressionner simultanément notre rétine dans son mode spécial de fonctionnement, qui constitue la vision. Or il est naturel que leur intensité soit faible, en raison même de leur éloignement relatif dans la série dont elles font partie. D'ailleurs, s'il arrive, plus ou moins exceptionnellement, que cette intensité soit notable, elles se comportent, sans doute, comme tout autant de radiations distinctes et nous échappent en tant que co harmoniques.

Le peu de longueur de l'échelle des périodes affectant la vue tientil à ce que notre clavier optique n'aurait pas assez de touches, c'est-à-dire, notre rétine, assez d'organes élémentaires à périodes

(') Pour que Tharmonie d'un orchestre, par exemple, puisse être perçue, il faut, eo effet (et c'est à peine nécessaire de le rappeler ici) que l'oreille soit impressionnée au même instant par les sons de Torchestre émis ensemble^ et non par ceux qui l'auraient été successivement.