DE CORPS EN MOUVEMENT : ELLES T SONT SUFFISANTES

échappe à l'équation ( y, ), faute d'une vitesse de propagation (i> différente de zéro, qui lui permette de se produire dans l'intérieur des corps (*).

V. — Loi de variation des déplacements dans les ondes émanées d*un centre : cas où les fonctions ^, r^y Ç se séparent dans les équations du mouvement. — Etudions enfin, comme an n" 24 (p. 3 19 à 323), le mode de variation des déplacements ^, r^j ^y pour les ondes courbes émanées de l'origine. Alors, dans la variable principale t — t^ des expressions (p) de ^, t^, C» le temps, t^y qu'emploient les ondes à venir de l'origine au point (Xy y, z), a toujours la même valeur, Ix 4- my H- nzy que pour Tonde plane qui leur est tangente en {Xy y^z). Et il a aussi, par suite, les mêmes dérivées premières l, m, n par rapport à Xy yy z^ en raison des deux relations, vérifiées identiquement en tous les points de l'onde courbe enveloppe,

dtf,= d{lx -h my -f- /i-s ), xdl + y dm -h zdn = Oy

lesquellesdonnent/ 6fâ7+/n dy-hndz comme différentielle totale de la fonction t^. Mais /, niy n et, par suite, /', m'y n'y seront des fonctions lentement variables de Xy y, z ou, plutôt, de leurs rapports mutuels : il viendra donc, par exemple,

dx "^ dx* dx^ — s — ^^ ^ dx^

et encore (vu que l'on aura des relations d'intégrabilité comme

d^o dl dm\ dx dy ~ dy " dxj

dx dy dy àx dy

dy dx ^\dy dx)^

Les dérivées premières complètes de Ç, 7^, Ç en Xy yy z conservent leur forme du cas des ondes planes, mais les dérivées secondes respectives

(rfa?^, dy'^y dz^y dy dZy dz dXy dx dy )

(*) On remarquera que l'équation (oc'i) (p. 565), par laquelle la dilatation cubique se trouve régie dans un milieu isotrope, et, de même, Téquation (yJ cidessus, sont dans le genre de l'équation (x33) (p. 38x), ou qu^elles rendent possibles des ondes évanescentes {avec condensations et dilatations cubiques en cas d'isotropie)t dès que la vitesse transitoire V n'est pas nulle. On pourrait donc, s'il y avait lieu, se servir de pareilles ondes évanescentes, pour vérifier, à la surface séparative de deux milieux, six relations distinctes, comme, par exemple, les relations (142) du n« 42 (p. 384), ^^ d*autres analogues. De telles conditions, linéaires, permettraient toujours, évidemment, d^obtenir par la construction d'Huygens les rayons réfléchis et réfractés, pourvu que chacune déciles fût homogène, quant à l'ordre des dérivées y figurant, et même sans cela pour les solutions, représentatives de mouvements pendulaires, dérivées des solutions symboliques de Cauchy, à exponentielle imaginaire commune. En effet, une telle exponentielle rend, en quelque sorte, homogènes toutes nos équations linéaires à coefficients constants.

574 ONDES LUM. ÉMAMtES D'uN CENTRE, DANS L'N CORPS EN MOUYBMSNT :

acquièrent en plus les termes

\' / dl dm an dm an an àl âl dm\ 2\ Ox^ ây* ôx* âz dy^ Ox dz* dy dx )

Par suite, la partie de la première équation du mouvement où figure le déplacement \ aura, à c6té du terme principal ç^", ou ^{V^' -i- %'), des termes en

d(y, /, m,n) soit,pourfixerlesidée8,9 = a — b/-...4-c/5-h...-hd/i/-he/m,

ou, ce qui revient au même,

a!^-H b-^1^-4-. .+c^ + ...-hd-^^+e-^^, df^ dx dt '" dx^ '" dzdx dx dy^

cette partie, en \^ de la première équation du mouvement. Elle deviendra visiblement

(a — b/ — ...-hc/^-f-...-t-d/i/-f-e/m) r— (— bH-2c/4-cm4-d/i)-p— ...

Ç'r(^(— b-t-2 c/-f-em-t-dn) 1

-ïL di -^' y

c'est-à-dire.

^ \dl dx dm dy dn dz) 2 \ dx dy dz

et, multipliée, puis divisée, par 2 Vf

Cela posé, pour traiter d'abord le cas le plus simple, supposons les fonctions Ç, y^, ^ séparées dans les équations de mouvement, la première de celles-ci ne contenant, par exemple, que ^ Alors les polynômes Xt ^ seront nuls; et Téquation en /, m, n sera simplement 9 = o, du moins en ce qui concerne le déplacement \, L'expression (7"), égalée à zéro, donnera donc

dx \dl^ 1^ dy Um V àz \dn^ ) ' ^'

ou bien, en observant que les dérivées . ,, r> entre elles comme x, r, z,

sont les produits respectifs des cosinus directeurs - — î-^-2 — - du rayon r par une fonction x des mêmes cosinus, invariable tout le long du rayon,

(T ) diV-^^)-^dPV—r)-^diV—) = ''-

£n traitant cette équation comme Téquation analogue en F du n* 24 (p. 3aa), on reconnaît qu'elle exprime simplement la proportionnalité inverse de la fonction V à la distance r, le long de chaque rayon r considéré en particulier, quand d^ailleurs la variable principale t—t^ ne change pas; et une intégration surplace de l'dt montre ensuite que le déplacement \y dans chaque onde suivie le long d'un même rayon, est lui-même en raison inverse de r.

LA FORCE VITE s'y CONSERVE LE LOKG DES RAYONS. 675

L^équation (y") exprime ainsi, évidemment, la conservation, par chaque onde, de sa force-vive suivant les x, le long de tout rayon émané du centre des ébranlements.

Le cas où les trois inconnues ^, t^, t^ se séparent effectivement dans les trois équations du mouvement et où, par suite, trois seulement des neuf polynômes 9, x> 4*, ..., ^j diffèrent de zéro, savoir <f, Xi» ^21 se trouve réalisé pour un milieu transparent isotrope animé d'une translation rapide. Car, alors, Téquation (3,) ( p. 565 ), vérifiée à une première approximation, même dans les ondes courbes, montre que 6 est une fonction très petite, de Tordre de celles dont les dérivées par rapport à la variable principale sont seules sensibles; ce qui réduit encore à (sj) l'équation (a^) en 0, même à la deuxième approximation, et continue, par suite, à y donner 6=0. Il ne reste, dès lors, quels que soient les axes coordonnés, ou fixes, ou animés d'une translation uniforme, que \ dans la première équation du mouvement, i^ dans la deuxième et Ç dans la troisième.

VI. — Cas général; équation aux dérivées partielles régissant le déplacement principal 6. — Supposons maintenant que chaque équation du mouvement contienne à la fois ^, r\ et (^. L'on aura, pour ces trois inconnues, les formules (P) ( p. 568), avec /, m, n et, par suite, /', m', n\ fonctions lentement variables de J7, y^ z, et avec de petits termes correctifs s, e., e, n'ayant de sensibles que leurs dérivées principales, relatives à la variable t — ^o-

Ces termes donneront donc seulement les expressions ( Pi ) ( p. 568 ) aux premiers membres des équations de mouvement.

Quant à la partie principale de ^, qui est /'6, elle y donnera visiblement des expressions analogues à (y*), sauf substitution de /'8 à Ç et, par suite, de /'6' à Ç' et de n{Z'^Y ou aP 5' 5" à (V')'- Ainsi, la partie en /'Ô de la première équation du mouvement sera

ou bien, en multipliant par — 36' et dédoublant H S'' en l'{l'B'^), dMvf- à.-p-vv^ d.pl'5-'

àx dy dz

\dl ôx dm ôy dn dz)

Les termes en /n' 8, n' t donneront des expressions analogues; et la première équation du mouvement sera, en tout, après suppression des termes en /'cp, m'y, n'4'i 96 neutralisant en vertu de la première relation (a*) (p. 567) :

, /,,d9 ,dX ,d^\^,^ -îS'Cçs'+xtl + K)^-^^ — ^ ^—

ây dz

\dl dx'^ dl dx dl dx dm dy "^ dm dy dn dz) ^

5y6 ONDES LUM. ÉMANÉES D'UN CENTRE, DAMS UN CORPS EN MOUVEMENT :

Multiplions respectivement cette équation, et ses deux analogues en (ÇpXn 4^1 )« (?«tX.» î'Jî P*** *®* multiplicateurs V, jj.', v' définis ci-dessus ou, plutôt, par des quantités qui leur soient proportionnelles et que nous appellerons aussi V, ji', v'. Il viendra, en ajoutant les résultats, Téquation en 6' du problème :

âx ^ dx

L'élongation 8, ou, plus précisément, la vitesse correspondante 8',sontdonc tenues de vérifier Téquation (6'), dans laquelle ne figurent d'inconnu, en chaque point

(ar,y,-8), que le carré 8'' et %ts petites dérivées -:-; ■• Une fois cette rcla-

tion (6') satisfaite, les équations du mouvement, qui sont (6) et ses analogues, se trouvent réduites à deux distinctes entre e', t\ et cj[. Mais on peut y joindre la condition /' s -h m' f | -h n' e, — o, ou sa dérivée seconde en r, /' e* 4- /n' «^ -h n' t^ = o, exprimant que 8 est la véritable composante totale du déplacement vibratoire suivant la direction (/', /n', n') assignée en chaque point. Et alors e', t\y i\ sont déterminés. Enfin, deux intégrations successives sur place en déduisent, dans chaque cas ou d'après la distribution des valeurs de 8 sur les diverses ondes, les petits écarts e, £,, e, qu^éprouve le mouvement hors de sa trajectoire rectiligne idéale, de direction (/', m', n').

VII. Intégration de cette équation, quand le déterminant est symétrique : conservation de la force vive de chaque onde sur chaque rayon, — La signification de réqualion (0') n'est simple, à ce qu'il semble, et son intégration ne paraît (du moins à première vue) eiïectuable, que lorsque les neuf polynômes 9, X) '^i^v •'"> ^3 ^^ réduisent à six distincts, par les trois égalités

?i = x» ?»=+> Xj=4'm

rendant symétrique le déterminant de ces neuf éléments et donnant, par suite» \\ ji', v' égaux à \ [JL, V, ou permettant de prendre ici

Alors, par exemple, les premier et quatrième termes triples écrits de (6) s^associent pour donner

ôx

Il en est de même des autres groupes de termes; et l'équation se réduit beaucoup. Rappelons-nous les polynômes P, Q, R définis au n** III (p. 669), ou plutôt, désignons par P, Q, R ce que deviennent ces polynômes, quand on les fait varier, tous les trois, dans un même rapport, en substituant aux fonctions \ {x, v ou X', (j.', v' de /, m, n les cosinus directeurs proportionnels /', m\ n*, qui sont aussi

LA FORCE YIYB s'T C0N8ERTE LE LONG DES RATONS. 577

des fonctions déterminées de l, rriy n : alors il vient d.P5'2 d.QB'^ d.RB'^

Or, d'après ce qu^on a vu (p. 670), les fonctions P, Q, H de ly m, /i, ainsi définies, sont proportionnelles à x, y^ s, ou égales aux produits respectifs des

cosinus - — ^— — - par une fonction x des mêmes cosinus, invariable le long de

chaque rayon r. L*on a donc Téquation, pareille à (y*) (p. 674),

exprimant que, sur toute onde suivie dans son mouvement et le long d'un même rayon, la vitesse vibratoire 6' et, par suite, le déplacement 6, sont inverses de la distance r au centre des ébranlements; ce qui implique la conservation, suivant chaque droite émanée du centre, de la force vive de Tonde.

On voit que la symétrie du déterminant des neuf éléments cp, )r, <|;, ...,4^2 entraîne : i* Vintégrabilité, le long de chaque rayon r pris isolément, de l'équation (0') par laquelle sont régies, dans une même onde, les vitesses vibratoires 8'; et a*, en même temps que cette intégrabililé, la conservation de la force vive.

Or, dans le cas d'un corps transparent, même animé d* une translation rapide, les équations de mouvement de Téther vérifient les trois conditions 91 = x* ^2= ^t X2= +1 ^® symélrie du déterminant; car, par exemple, les termes en tj, dans la première équation du mouvement, et les termes en ^, dans la seconde, ont respectivement les formes

^ \dt "^ dx ^ dy '^ dz)'^*'^ dx dy et

d'^ dx dy

donnant pour x et 9^ l'expression commune

Ainsi, il y a conservation, suivant chaque rayon, de la force vive de toute onde lumineuse, propagée, à partir d'un centre, dans un corps transparent soit fixe, soit mobile dans l'éther. Il en serait de même si l'éther, tout en restant élastique, cessait d'être isotrope, pourvu qu'il continuât à admettre un potentiel d'élasticité (*).

On voit que, du moins dans les cas particuliers les plus intéressants, comme sont ceux des ondes planes et des ondes émanées d'un centre, le principe des forces vives doit avoir une certaine manière de s'appliquer à ces sortes de mouvements dont les équations contiennent, à côté du terme ordinaire affecté aux accélérations, d'autres termes contenant les dérivées secondes complètes des dé-

( * ) Voir, à ce sujet, mon Volume intitulé Applications des potentiels à l'étude de Véquilibre et du mouvement des solides élastiques^ etc. (p. 674).

\dt dx ^ dy ^ dz) ^

5yS SUR l'ellipsoïde inyersb et les directions des yibrations,

placements, par rapport au temps, définies à la page 897, ou prises le long de chemins parallèles, parcourus avec une vitesse constante donnée.

Complément a la théorie de l'ellipsoïde inverse (n* 56) principalement

DANS le cas d'asymétrie.

I. Simplifications aux calculs concernant Vellipsoîde inverse. — Dans an exposé sommaire, où Ton ne préciserait pas les différences existant entre la direction exacte (/', m', n') de la vibration et sa direction dite approchée (/j, mj, /i',), non plus qu'entre la valeur exacte de (o définie par Téquation (169) (p. 4^4 ) ^t sa valeur approchée définie par (172), on pourrait se conten ter de poser la formule que donnent les trois équations (166), multipliées respectivement par T, m\ /l'et ajoutées. Cette formule, d'où se trouvent éliminés les coefficients d'asymétrie d, e, t, est

U/'^4- Vm'2-i- Wn'2 = — ( //'-h mm'-^ nn' f.

Or, vu la quasi- transversal ité des vibrations, ou, ce qui revient au même, la petitesse du trinôme //'-f- m/n'-f- nn\ corrélative dans les équations (166) à celle de U, V, W, d, e, f, le second membre obtenu est du deuxième ordre; et une altération négligeable (de cet ordre), imposée à (i> dans U, V, W, suffira pour faire annuler le premier membre. On aura donc, sans erreur sensible,

U/'2H-Vm'2 4-W/i'»=o, c'est-à-dire

n m^ ni - L a^'^ b^ ~^ c^ ~ ù)5*

Or une transformation comme celle qui nous a conduits (p. 4^0) à rellipsolde direct de Fresnel, permet de substituer au premier membre le quotient de {n-h m'^-h n'^y par a^l'^-i- b^m'^-^- c^n'^y c'est-à-dire l'inverse de ce dernier trinôme. Et il vient, à très peu près,

aW^-hb^ni'^-i- c^n"=îù-;

ce qui est, vu l'approximation demandée, l'équivalent de (179).

Pour démontrer la seconde propriété de l'ellipsoïde ioverse dans un milieu symétrique (p. 4i8), celle qu'il a de faire connaître la direction approchée (fj, m',, n\ ) de la vibration par les axes de son ellipse diamétrale parallèle aux ondes, il suffit d'observer que la normale à l'ellipsoïde, menée au point où aboutit le diamètre de direction (/',, w',, /i', ), a ses cosinus directeurs proportionnels à a'/'j, b^m[y c^n\, c'est-à-dire, justement, aux cosinus directeurs exacts /', m', n' de la vibration. Celle-ci y est donc normale à l'ellipsoïde et, par suite, à son ellipse, considérée, d'intersection par le plan d'onde diamétral, ellipse qui coupe ainsi à angle droit le plan projetant la vibration sur l'onde. Donc le diamètre de direction (/,, m\, n\), que Ton sait représenter la projection même de la vibration, se trouve normal à l'ellipse, ce qui exige bien qu'il en soit un des deux axes.

II. Obliquité, sur le plan d'onde, du plan des deux directions exacte et approchée de la vibration, dans le cas d'asymétrie. — Quand les coefficients d, e, f d'asymétrie sont nuls, la direction approchée (/^ m;, n\) de la vibration

PRINCIPALKMENT DANS 1.B CAS d'aSYMÉTRIE. 679

est, je viens de le rappeler, la projection, sur le plan de Tonde, de la direction exacte (/', m', n'). Il y a lieu de se demander si elle Test encore, généralement, lorsque d, e, f diiïèrent de zéro. Or Texamen du cas particulier où f est nul et où les ondes sont normales à Taxe des «, suffit pour montrer que non. Car Ton a alors

ce qui réduit, d'une part, Téquation (169) et les rapports égaux (167) à

/ N UV .5., -, /' m' n'

(») 4-d»U-hc'V=o, = -^ = --,

d'autre part, (17a) et les rapports égaux (173) à

UV-o -^ - ^'' -!^.

La direction (/j, m\^ n\) coïncide avec Taxe ou des x (si U = 0), ou des y (si V=o). Elle ne peut donc être la projection, sur le plan des xy, de la direction (/', m'j n'), qu'à la condition, pour celle-ci, de se trouver dans le plan ou des SX, ou des zy. Or cela exigerait que les deux dernières relations (a) donnassent soit m'=o, c'est-à-dire U = o, soit /'=o, c'est-à-dire V=«>. Mais la première relation (oc) montre que U et V ne peuvent pas s'annuler l'un sans l'autre : circonstance rendue impossible par le fait de l'invariabilité de la diflérence U — V, égale à celle des inverses de a' et de 6'.

Complément a la théorie de la dispersion.

I. Complément au n" 63, relatif au terme principal de dispersion ou terme de Cauchy, — Le rayon e de la sphère d'uniformisation est, comme je l'ai dit à la page 439, en rapport de longueur avec les intervalles moléculaires, quoique notablement plus grand qu'eux. Mais, en réalité, sa détermination reste extrêmement délicate, et elle serait même impossible, si l'on demandait autre chose qu'un calcul approximatif. Car l'uniformisation à effectuer ici doit faire disparaître des fonctions Ç, tj, ^ les inégalités locales, ou dues à la discontinuité de la matière pondérable, sans néanmoins atténuer celles qui constituent les ondes mêmes, et dont il s'agit justement de mettre en relief les effets divers. Or, comme les distances intermolécuUires sont supposées un peu comparables à la longueur d'ondulation, cette atténuation, cet effacement des ondes, dans les expressions considérées de Ç, t„ ^, se produiraient pour peu qu'on prit s trop grand. Ainsi, la correction à effectuer se trouve très limitée, dans sa précision, par la nécessité où Ton est, tout en uniformisant, de ne le faire que d'une manière restreinte. C'est donc l'expérience seule qui fixera le choix de e, d'après les valeurs qu'elle assignera, dans l'expression (204) (p. 44^) de co' ou dans l'expression corrélative de l'indice de réfraction, au coefficient x, que la formule (200) (p. 439) rattache à e.

La marche suivie, qui a l'avantage de la simplicité, ne constitue donc qu'un mode sommaire d'approximation, mais pas plus imparfait peut-être que la méthode compliquée, due en principe à Cauchy et paraissant spéciale aux corps à constitution périodique ou cristallisés, à laquelle il est fait allusion vers le milieu de

58o DIFFICULTÉS DE LA THÉORIE DE LA DISPERSION.

la page 4^7* méthode où il serait également difficile d'éviter les deux écueils contraires signalés ici, si Ton voulait rappliquer aux corps amorphes ou à cristallisation confuse ('). Aussi, ne prétendant nullement à la rigueur, je n*ai pas jugé nécessaire, à la page 4^7) d^introduire dans la formule d'uniformisation, c'est-à-dire dans l'expression approchée de Ç, en fonction de Ç^, les termes en AjA,^^, A^A^A^Ç^, ..., qui, toutefois, pourraient bien donner une approximation plus grande. La mise en compte des termes en A^AjÇ^, qui est immédiate et simple grâce à la dernière formule de la page 4^7, conduit, par exemple, à prendre

(«) Ç = ç„-^a,ç„-hJ1^a,M-.

Or, dans le dernier terme, on aura sensiblement, d'après la première des trois équations approchées du mouvement,

p-^pA rfn^ P + PA.» .

de sorte qu'il viendra

au lieu de la formule employée au n<* 63,

Par suite, si l'on pose encore, d'après (200) (p. 439) et en supposant isotrope le corps,

pA — — v^ii. ou — = — r> 10 10 pA

le coefficient % se trouvera remplacé, dans les formules (201), (202) et (2o4) (p. 439 et 440 )i notamment dans la dernière, qui exprime le carré w' de la vitesse de propagation, par

et, au facteur binôme i — %k^ du numérateur, dont le second terme est négatif,

s'adjoindra le nouveau terme, également négatif, j —7 — x^Ar*. Il a bien, du

moins à un coefficient correctif près, la forme et le signe de celui qu'ajoutent les physiciens, inverse de la quatrième puissance de la période vibratoire, quand ils veulent exprimer leurs observations les plus précises.

La théorie de la dispersion ne me parait guère comporter, du moins dans l'état actuel de nos connaissances, une véritable rigueur, à cause surtout de la diffi-

(*) Elle semble encore bien complexe sous la forme, pourtant la plus réduite possible, que lui a donnée M. Potier dans son Mémoire de 1872, intitulé : Becherches sur l'intégration cfun système d'équations aux différentielles par^ tielles à coefficients périodiques {Association française pour l*avancement des sciences, t. I, p. 255 à 272).