OBLIQUITÉ DES RATONS AUX ONDES ET LEUR COURBURE

part chacune d'elles, Ç par exemple. Posons donc

en faisant le coefficient imaginaire d'amplitude U lentement variable avec Xj y^ z. L'équation en \ revient à

où iù\ a l'expression imaginaire (ii8) (p. 374), à laquelle celle de l^ est reliée

par la formule (119). A cause des petites dérivées partielles -r-, r de U et,

en conséquence, de Ç, par rapport aux variables autres que t —l^x^my^ Von aura, comme il a été trouvé bien des fois dans ce Volume, sans que le caractère imaginaire de la variable principale vienne modifier ici en rien les règles de différentiation,

dC -^' dX- ''^ ^ dx' dx' - '■* ^''djT*

et réquation du mouvement ci-dessus deviendra, vu (117) (p. 378),

^ àx dy *

c'est-à-dire

ox dy

Soit U = c"+'*t*^, e" étant le module de U, ou Vamplitude des valeurs effectives de \ (abstraction faite de l'exponentielle décroissante, fonction de x seul, comprise dans le facteur e~*'i*^^), et m, étant Vargument de U, expression d'une avance ou d'un retard de phase. Ces deux quantités u et u, sont données à la surface a: = o du corps opaque; ou, plutôt, elles y résultent des formules indiquées au n*" 39, à propos de la réflexion métallique (p. 374)- A cette surface a? =0, l'amplitude e" du déplacement réfracté eflectif l est variable, proportionnelle partout à celle du déplacement de même nom dans l'onde incidente; mais le changement u^ de phase y est constant, pour les directions assignées de cette onde et des vibrations qui la constituent.

Or la substitution, à U, de c"+"/-^ et, à /p m, de leurs valeurs des n»« 39 et 67 (p. 375 et 45i), savoir

, L/ r — . X cosr / L . sin« sinr

/, = — vcosv — ^—i sinv ) = — V— I — sinv, m = = — ;r—t

change l'équation précédente en

(cosr /^— L . \/âu i du.\ sinr /du / du.\

et la séparation de l'imaginaire d'avec le réel y donne,, après multiplication par

DANS LES CORPS OPAQUES, HÊMB ISOTROPES. 585

la vitesse de propagatioa Û de inonde réfractée,

l du , au . /. Q . \dUi

/ dtt, du. . /. a .^ \ du

ou bien, ea désignant par ^ — ^-^ les dérivées premières respectives de u et u,

suivant une petite normale dn aux ondes réfractées, , ,, du /. Q . \du^ du^ /,

du f.Çk.\ du, du. /, Û . \ du

Il vient encore, par Félimination du coefficient L>-sinv entre ces deux équations, la relation remarquable

, -^ du du du. du.

dn dx dn dx

Or, sauf dans le cas de Tincidence normale, où les deux éléments rectilignes <^n et dx st confondent, et où cette dernière équation (c*) implique la double invariabilité de u et de u^ suivant la normale aux ondes, les deux équations {c') ou(c) prouvent l'obliquité, par rapport aux ondes, des rayons lumineux, le long desquels le coefficient d'amplitude e" se conserve. Car, si Tamplitude du déplacement ^, qui est le produit de e" par une exponentielle en x seul, se transmettait, abstraction faite de Texponentielle en x, suivant l'élément <^n, l'annulation de -T-i dans la première équation (c') considérée près de la surface 0;= o,

y donnerait -p = o : d'où il résulterait -p = o en ces points où w, ne varie

pas avec y; et alors la seconde équation (c'), y devenant ^ = 0, exigerait

(vu -r— = oj, l'annulation de -t-> ou empêcherait Tamplitude c" d'y varier arbitrairement d'un point à l'autre de la surface, comme il le faut pour qu'elle soit partout proportionnelle au déplacement \ incident. Donc les rayons, réfractés sous les incidences obliques par un corps opaque isotrope, sont eux-mêmes obliques à leurs ondes.

De plus, ces rayons (ainsi définis par la relation u = const.) ont des courbures variables avec la manière dont change l'amplitude du mouvement vibratoire d'un point à l'autre de la surface. Car, si, dans un plan parallèle à celui d'incidence ou des xy, mais d'ailleurs quelconque, r, désigne, en tout point (x, y,z)j l'angle variable du rayon avec les x positifs, ou que cosr,, sin rp o soient ses cosinus directeurs. Ton aura évidemmen t

du du .

-7- cosr, -4- ^- sinr, = o:

dx dy * '

et l'angle r, ne pourra être constant, le long d'un rayon, que si le rapport des deux dérivées partielles de i^en â; et ^, ou aussi, par suite, celui des deux déri-