DANS LES PHÉNOMÈNES DE POLABISATION ROTATOIRE

intégrale nulle par hypothèse, puisque Ton admet Texistence du repos à la limite de l'espace a. Il reste donc, pour Texpression (6),

c^est-à-dire, identiquement, la seconde moitié .cherchée de (a).

Ainsi, abstraction faite du terme {b'), relatif à la surface limite a, que nous supposons nul, mais dont il faudrait plus généralement tenir compte, les résistances productrices de la polarisation rotatoire et de la double réfraction elliptique entraînent l'adjonction, à Ténergie potentielle en jeu dans le problème, du terme (a'), dont le décroissement d'un instant à Tautre constitue justement le travail de ces résistances. Comme il y figure les vitesses W r/, ^' ou leurs dérivées en Xf y, z, cette énergie potentielle se rapproche, par son expression, des demiforces vives : il conviendra donc de la comprendre dans ce que nous appelons (p. 284) la demi-force vive fictive et aussi, par suite, dans l'énergie actuelle totale.

Rapportée h l'unité de volume, elle égale le produit de ^ql par V expression

^ ' 2\az dy I 2 \dx dz ] 2 \dy dx j

qui, au signe près, s'obtient elle-même, évidemment, en multipliant la vitesse instantanée de rotation moyenne de la particule d'éther par la projection, sur Vaxe de rotation correspondant, de la vitesse {\'^ r\\ Ç') de translation de la particule.

II. Équation du viriel. — Les mêmes résistances (218) figureront au premier membre de Téquation du viriel (p. 285), par l'intégrale

Transformons cette expression en opérant comme ci-dessus après la formule (6), c'est-à-dire en remplaçant

par

Tz -^--^ d^-^'"^^ Tz-'-'

Il viendra

(rf')

,rç„,;--t,-,x....,..*X?D-(S-f)-]-'

SgO ÉQUATIONS DES FORGES VIVES ET DU TIRIEL^

expression où le terme en / pourrait s'écrire enc'ore

Mais faisons abstraction, comme dans l'équation des forces vives, de ce terme relatif à la surface limite, où nous supposerons, par exemple, que règne le repos . Alors le double de l'expression {d) équivaudra, en remplaçant une fois cette expression par le second membre de {d'), à

Or l'on a, par exemple,

^~dr^^ dz" dO V dz) ^^ dz'

et la moitié de l'expression {d")^ c'est-à-dire l'intégrale môme (^), qui est à considérer, devient

Telle est, par conséquent, la quantité dont s'accroîtra ici le premier membre de l'équation (e*) du viriel (p. 286) obtenue au n" 10. On remarquera que son second terme est l'expression {a! ) changée de signe, et que le premier est, comme le premier terme de {t") (p. 286), la dérivée seconde, par rapport au temps, d'une intégrale où ^, y;, ^ se trouvent ou tels quels ou diCférentiés seulement en a:, y^ z.

En raisonnant comme au n<* il (p. 286 et 287), on reconnaîtra de même que, dans les propagations d'ondes, Vénergie actuelle totale, en y comprenant le terme (a'), égale Vénergie potentielle élastique, et qu'elle se conserve séparément, non moins que l'énergie totale elle-même. Et elle se conserverait encore, mais seulement en moyenne, dans des ondes périodiques stationnaires.

III. Cas où la force vive se conserve. — Il y a lieu de distinguer les mouvements où l'expression (c) et, par suite, le nouveau terme {a') s'annuleraient, puisque alors les formules des forces vives et du viriel seraient les mêmes que dans un corps sans pouvoir rotatoire; d'où il suit que la force vive, prise à part, s'y conserverait. Or, annuler l'expression (c), c'est exprimer Vintégrabilité de l'équation, aux différentielles totales,

(e') \' dx -\' r^' dy -h ^' dz = 0^

c'est-à-dire, admettre que les petites droites ( à projections dx^ dy^ dz sur les axes) perpendiculaires en ('j;, y, z) à la vitesse (Ç', ïj', IJ'), et qui couvrent toujours, de la sorte, un élément plan autour de {x^y^z)^ constituent ainsi de proche en proche, aux différents points (ar, y^ z) de l'espace occupé par le corps, une certaine famille f{x,y, -c) = c de surfaces courbes. C'est donc admettre que les vitesses (V)^S C') se trouv.^nt, à tout instant, partout normales à une famille