DANS LES MILIEUX DOUÉS DE POUVOIR ROTATOIRE

de surfaces, dont réquation, d'ailleurs susceptible de contenir le temps i, est alors, justement, Tintégrale même /= const. de (e') (').

Au reste, cette annulation de l'expression (c) n'est qu'une des manières, la plu s simple, dont pourraient se conserver à part, dans une onde, l'intégrale {a') et, par suite, la demi-force vive.

COMPLéMENT A L*ÊTUDB DE LA POLARISATION CIRCULAIRE. *

I. Application, à un milieu transparent isotrope-dissymétriquef de la théorie générale des ondes planes à vibrations pendulaires, — Appliquons à un corps isotrope-dissymétrique, produisant, par conséquent, la polarisation circulaire des vibrations dans les ondes planes à propagation uniforme, les formules des pages 474 ^ k'fi- Les équations du mouvement, si Ton y adopte, pour unité de longueur, la vitesse de la lumière dans le corps symétrique correspondant, et que 2 g désigne alors le coefficient de dissymétrie, seront, d'après les formules (aao) (p. 45!?0»

Sh-(È-f>— ^(£-f.>=*-(i-^^)]

et elles reviendront à poser, après suppression d'un facteur A:^,

Içp = /'h- m^H- /i' — I, X = igkn^ — 1, «j/ = — igkm^—\^

<Pj = — •igkn v/~i, Xi= /^-i-m»-h/i'— I, ^^^igkl /^,

^^= 'igkm^f^i^ '/2 = — 2^Ar/v/^, <];, = /^ h- m^ H- /i* — i .

Les trois fonctions 7,, cp2> Xs ^^ trouvant conjuguées à x» ^i 4^n i^ est clair que les déterminants partiels V, jx', v' seront aussi conjugués à \ jjl, v. Nous savons, d'ailleurs (p. 4^8), qu'on aura 6 = o, ou /L -+- mM -h /iN = 0 et, par suite,

(a") /X-+- mix -I-/1V = o, /V-hmjjL'-t-/iv' = o; *

d'où encore

/ __ m n ^^^ jxv'-vîjl' "" vV— Xv' " Xîx'— |jlV*

De plus, les trois fonctions égales 9, Xn 4'j différeront de zéro, sans quoi L, M, N, dès lors proportionnels à /, m, nen vertu de (y) (p. 474) et de (a*), ne pourraient annuler le trinôme /L + /raM + ^N. Il suffit alors d'ajouter ces trois équations (f), multipliées respectivement par L, M, N, pour avoir L^-f- M^-h N^= o, ou

(6') V-^|jL»H-v»=o, X'-h-|Jl"-|-v''=o.

Par suite, les trois fractions

(|xv'— vjx', vV— XvS Xtx'— (xV) ^ ' XX'-f-|Xjx'-+- vv'

(*) Voir^ par exemple, mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physiqucy t. II, Compléments, p. a* à 7*.

59^ ONDES PLANES LIMITÉES, À YIBRÀTIONS CIRGCLAIRES,

ont, diaprés Tidentité classique fréqaemmeat employée (p. 4^7 )> 1& somme de leurs carrés égale à — i; et, se trouvant, d'après (6), proportionnelles k l, rn^n,

elles égalent respectivement ± y— i -- —■

Enfin, le déterminant des neuf éléments (a') donne, après suppression du facteur 9 (différent de zéro, comme on vient de le voir), Téquation en l, m, n :

En la résolvant par rapport à T-h m'^-hn* ou -5» il vient

(c') -^ ou P-h m' 4- n • = I 4- 2g^k*± ^gk^i-i- g^k*,

valeurs de /'-f-m*H-n' constantes, Tune, supérieure, l'autre inférieure à Tunilé, de quantités inégales, très petites dans tous les corps {oh g est toujours faible) et y valant à fort peu près 2gk.

L'équation (c) rend ^P-hm^-^ n^ fonction linéaire de P-h m^-\- n-—i\ et les trois fractions (b") deviennent, à la condition de bien choisir le signe du symbole imaginaire,

2gk{l,m,n) ^-k- m^-f n^ — I *

Or, en faisant varier avec continuité les rapports mutuels de /, m, /i sans changer, vu (c), la somme P-^-nP-hri^, on voit que ces fractions ( b' ), fonctions continues à dénominateur essentiellement positif, ne s'annulent jamais à la fois; de sorte que le signe de ± v^— i y est toujours le même. Or, si l'on fait, par exemple,

m = o, /i = 0, / > o, Xi 4't ?i> 9i so'ït Duls, 4*1 et — 4'» valent "igkl ^ — 1, enfin, 9, Xn 4'ï égalent P—\. Et Ton reconnaît immédiatement que les équations (y), (Ô) (p. 474 et 47^) permettent de prendre, à des facteurs constants près,

X = o, |x = /^— I, V =r— 2gkl\/—\^

X' = o, jjl' — /' — 1 , v' = 2gkl sl—\ ; d'où

liv'— v|jl'=4^A:/(/' — i)v/^^,

et aussi, en tenant finalement compte de (c),

U'-+-|xix'-t-w'=(/2-i)2H-4^»A''/2=a(/2— I)».

Le premier rapport {b") est donc alors v^— i jf—^'t ce qui montre qu'il faut

adopter exclusivement, dans (c"), le signe supérieur.

D'après (c), la célérité o) a la valeur absolue du rapport constant de ^gk à P-\- /n*-4-n^— I, rapport positif pour la vibration circulaire la plus lente, négatif pour la plus rapide, si du moins g est > 0. Les trois fractions {b") vaudront donc ±: a> y— i (/, m, n), le signe supérieur se rapportant, pour ^ > o, à la vibration circulaire lente, le signe inférieur, à l'autre; et nous aurons les trois formules, indispensables ci-après :

{d) ( jjLv' — vjJi', vX'— Xv', \a'— iJLV) = ±a> v/^(XX'H- H4i'4- w') (;,m, /i).

DANS LES MILIEUX TRANSPARENTS» ISOTROPES DISSYMÉTRIQUES. 698 Cela posé, ici où les dérivées partielles en l^ m, n de o, x» 4^? •••• ^t sont, vu (a'), ou 2/, am, an, ou zéro, ou ±: 2gk sj—i, les expressions de P, Q, R, savoir

deviennent simplement

P = 2(U'4-ix|x'-t-vv';-25'Arv/^(îJiv'--vîx'), Q=..., R=..., c'est-à-dire, vu les formules (d), {d') (P,Q,R) =a(XVH-îJLix'+w')(idz^Ar«)(/,m,/i).

La direction (P, Q, R) des rayons se confond donc avec celle, (/, rriyti), de la normale aux ondes, comme on pouvait le prévoir en observant que les surfaces d'onde courbes, enveloppes des ondes planes de toute direction passées simultanément à Torigine, se composent ici de deux sphères concentriques.

IL Équation aux dérivées partielles régissant l'amplitude des vibrations dans les ondes courbes émanées d'un centre. — Mais supposons maintenant nos ondes ainsi sphériques et émanées de Torigine. Alors les dérivées premières, /, m, /i, de /., et leurs fonctions X, {jl, v, \\ {x', v' seront, comme L, M, N, lentement variables avec x^ y^ z; et, dans les diCférentiations secondes à effectuer, les opérations symboliques exprimées par âl, dm^ dn (p. 474 )« quand elles porteront sur des produits dans le genre, par exemple, de /L, les dédoubleront; car l'opération dLlL donnera non seulement, comme dans le cas d'ondes planes, Idl.h, mais,

de plus, hdl.l', c'est-à-dire L ^-r — t- • Un carré accru de sa différentielle sym-