DANS LES ONDES DIVERGENTES DES MILIEUX DISSYMÉTRIQUES

Traitons de même l'expression |a (-r TT")» ^^ °®"^ verrons que sa partie

réelle est

//x / dn ,dn\ l dm

Enfin f l'expression v ( -r ^) ^ comme partie réelle

En ajoutant (^), {g')n {g'')f on voit, d'abord, que les six termes où ne figure

pas b)' se détruisent deux à deux et, ensuite, que les deux couples de termes

restants, Tun en — :} Tautre en -=> s'annulent en vertu de (/').

' 0)* Cl»'

Ainsi, l'expression (e') a sa partie réelle nulle; et le second terme de l'équation (e) se réduit bien à zéro.

Si ce terme ne s'était pas trouvé nul, l'intégration de l'équation (e) le long de chaque rayon vecteur aurait été, néanmoins, effectuable directement et simplement. En effet, comme \, (i, v, V, \l\ v', invariables le long de chaque rayon, sont des fonctions homogènes du degré zéro en j?, ^, z^ leurs dérivées partielles premières constituent des fonctions homogènes du degré — i; et ce second terme se

serait trouvé de la forme > avec K réel et constant le long d'un même

rayon. L'équation (e), multipliée par dr, aurait donc eu pour intégrale, sur ce rayon,

1 rH-«*K /=î = const. ou I = ^^^* e- >/=* «*k lof r .

L'exponentielle imaginaire se serait jointe, dans les formules (P) (p. 47^) des déplacements symboliques Ç, ti, Ç, an facteur variable c*('— 'o)/^. Elle aurait donc conduit, simplement, à remplacer la variable principale t — t^, c'est-à-dire, ici,

t f par t — t^^ gK logr; modification insignifiante aux distances r un peu

grandes, dont le logarithme devient sensiblement constant sur des longueurs notables.

IV. Réflexions diverses : non-existence de sur/aces, même variables, aux^ quelles seraient normales les vitesses vibratoires de l'éther dans les milieux dissymétriques. — En résumé, tant dans le cas d'ondes émanées d'un centre que dans celui d'ondes planes, la force vive se conserve le long de chaque rayon, sans qu'on ait même à y tenir compte de l'intégrale (a') (p. 588), que nous avons dû ajouter à l'expression de Vénergie actuelle totale (p. 589) pour pouvoir étendre d'une manière générale, à l'éther des milieux transparents composés de grosses molécules dissymétriques, les principes des forces vives et du viriel. Et, en effet, cette intégrale {a') s'annule ici identiquement dans la solution symbolique; car l'équation (e') (p. 590) y est intégrable.

On le reconnaît en observant que Ç, t\, ^ et, par suite, \'y •r\\ ^' se trouvent, dans la solution symbolique considérée, proportionnels à \ |i,, v. Cette équation (e') devient donc

( A ) \dx-¥v-dy-¥^dzr=Oy

598 ONDES BIYERGENTBS DANS UN MfUEU DISSYMÉTRIQUE :

ou bien, vu les valeurs (e") de X, ji, v,

n{l dx -h m dy -h n dz) j ± I—. {Idy — mdx) — o,

c'est-à-dire, en raison de ce que /, m, n sont les dérivées premières du temps I, de propagation,

(h') ndt,-^^±:^^{ldy-mdx)=o.

" tû^ ta

Or, t^, ly m, n sont les quotients respectifs de /•,-»—> - par w; et l'équation {h')y dont il s'agit de reconnaître Tintégrabilité analytique, devient, si on la multiplie par u^r,

(z dr — r dz) zt tù y/— i{xdy —y dx) = 0.

Alors, divisée, dans sa partie réelle, par r^ — z^ et, dans sa partie imaginaire, par Texpression équivalente x'^-^y^, elle admet immédiatement, comme intégrale générale,

Ï^S 1 / — ^ v^— I arc tang — = const.,

OU

^^Si/ — ^ ^ — » *rc tang -7- = const.

y ta -h n l

Il est vrai que Fexpression (a') (p. 588) n^est ainsi démontrée nulle que pour la solution symbolique, et non pour les vitesses \\ r\\ t^' effectives, parties réelles des \', t\', Ç symboliques. Mais cela suffit pour la conservation de la force vive {également symbolique)^ dans cette solution, ou, ainsi qu'on Ta vu, pour rendre le coefficient I d'amplitude et, par suite, les parties réelles de ^, t^, Ç, qui expriment les déplacements effectifs, inverses de la distance r au centre d'ébranlement, le long de chaque rayon en émanant. D'où il suit, comme on sait, que la force vive des ondes réelles se conserve le long de ces rayons.

Seulement, il n'y a plus de famille de surfaces à laquelle les vitesses effectives W "^'i ^' soient normales. Car, si, attribuant à \, (i, v les expressions (e''), Ton suppose, pour simplifier, le coefficient d'amplitude I tout entier imaginaire dans la solution symbolique [ce qui revient à faire abstraction d'une partie constante dans l'argument k{t — t^ ) yj — 1 de l'exponentielle, ou à choisir une origine des temps convenable], les dérivées \\ t\'y Ç' seront, à un facteur près, constant et réel, les produits de \ |ji, v par c*('— 'è)/-*^; de sorte qu'on pourra prendre, sauf le même facteur, comme expression symbolique de \' dx •¥'r\' dy -\-^' dz^ le premier membre de (A), multiplié par c*('— '0)*^. Alors à un facteur près réel et fini^ cette expression sera, vu {h') et (A"), le produit

[cosA:(^— ^.) -^ \f^ %\ïik{t — tt>)] dlogl/î!^^— ^^zhwv/^darctang— j;

N0N-EXI8TEIt(CB DK SURF. AUXQUELLES SOIENT NORMALES LES VITESSES. SqQ et, sauf encore an facteur réel, elle aura comme partie réelle (à annuler)

(i) rflogi/*^^ =p 0) tangAr( / — /,). rf arc tang-r-.

y Ui r- H l

Or, cheminer de proche en proche, à partir d'un point quelconque {x, y^z) et instantanément (c'est-à-dire à une époque donnée on Jixe /), le long des éléments rectilignes (dxy dy, dz) pour lesquels s'annule cette expression {i\ c'est par exemple, i<> sur la sphère /e=const., ou r-=const., passant par {Xf y, z), décrire la courbe le long de laquelle on a

('') '^Si/ =f- <^(arc tang-^ J tangA-(/ — /o) - une const. c.

et, 3*, normalement à cette sphère et aux sphères concentriques, parcourir le rayon r passant par ( j:, y, z), sur lequel /, m, n sont invariables.

Des surfaces normales aux vitesses actuelles contiendraient donc, si elles existaient, tous les rayons r coupant les courbes (/') : ce seraient des cônes à génératrices émanées de l'origine et à directrices exprimées par l'équation (i'), avec la valeur de /« assignée. Mais comme, à une distance r du sommet autre que celle du point (x, yy z) de départ, les courbes analogues à (i'), émanées du premier

/• rayon r prolongé ou raccourci, correspondraient à une valeur, - » de t^ et, par

suite, à une valeur, c, du second membre, dinférenles des valeurs premières, ces courbes couperaient les cônes qui sont, dès lors, incapables de contenir tous les chemins suivant lesquels on peut, de proche en proc/ie, se mouvoir normalement aux vitesses actuelles.

Mais on reconnaît aisément que l'intégrale (a') (p. 588) prise, le long d'un rayon r croissant, dans la couche sphériquc d'épaisseur constante occupée par une onde, y conserve, néanmoins, sa valeur (dès lors diiïérente de zéro). Car, les vitesses réelles Ç', t|', ^' ne changent rapidement qu'en fonction de

t — lx — my — 715,

où /, m, n sont (comme d'autres paramétres) très peu variables d'un point à l'autre et même constants le long du rayon. D'où il résulte que la fonction sous le signe /, dans (a'), ne varie sensiblement, quand on suit Tonde le long du rayon, qu'à raison du lent changement des amplitudes, inverses de r, dans les deux facteurs de chacun des six produits constituant cette fonction. Et comme le champ cj, ou même rfcj, de l'intégrale, à l'inlérieur du cône aigu formé par le rayon lumineux en question, sera proportionnel au carré r' de la distance au sommet, on voit que l'intégrale (a') aura bien indéfiniment, dans l'onde, la même valeur.

Il est digne de remarque que la force vive se conserve également le long des rayons, comme on a vu (p. 577), et encore pour les ondes émanées d'un centre non moins que pour les ondes planes, dans l'éther des milieux homogènes en mouvement, quoique Von ne sache pas, du moins à ma connaissance, comment les principes des forces vives et du viriel pourraient généralement s'y étendre. Il j a, sans doute, dans le fait de l'émanation à partir d'un centre (et il y aurait peut-être aussi dans quelque fait analogue, toutes les fois que l'on démêlerait de même àts rayons &.\si\TiCis)y un élément de simplification suffisant pour agrandir le champ d'application de ces principes en en réduisant l'expression.

6oo FORMULE SIMPLE DU COEFFICIENT d'àBSORPTION

Complément au k» 76 bis, concernant l'absorption et le polychroïsmb.

I. Éclaircissements sur rhétérotropie des liquides magnétiques et sur des calculs du n*> 76 bis. — On pourrait, à première vue, ne pas comprendre que les solutions liquides sur lesquelles ont porté les expériences de M. Quirino Majo-^ rana, manifestent, par leur biréfringence et surtout par leur mode d*absorptioD de la lumière sous l'influence du magnétisme, une hétérotropie bien caractérisée, alors que, par définition même, la fluidité implique l'isotropie. Mais il suffit d'un peu de réflexion, pour concevoir que les molécules magnétiques (ou diamagnétiques) disséminées çà et là dans la masse liquide, et qui s'y trouvent orientées indifféremment en tous sens à l'état naturel, se dirigent, au contraire, sans résistance appréciable, toutes de la même manière par rapport à la ligne des pôles, dès qu'elles sont placées dans un champ magnétique uniforme.

Le passage des équations (a') aux équations (p) (p. 4^3) a été peut-être trop rapide dans le texte pour ne pas paraître un peu obscur. On Féclaircit, en observant que les équations (a*") donnent, par exemple,

I I / a^a' I W 1 / 'ka^a' , \ i a' y

et que, d'autre part, avec la formule (a") de \, l'on a

dt-^"^ i^, ^^, - AT ^,

en sorte que les premiers membres des équations (a') et (p) correspondantes sont, tous les deux,

- -Ç + aa'Ar^-iÇ,

ce qui les rend bien identiques.

Quoique le calcul des phénomènes d'absorption se trouve très simplifié par l'emploi des solutions symboliques, où ^, t^, Ç ont comme unique facteur variable, d'après la démonstration de la page 493, l'exponentielle e*{/-Ljr— Mj^— XsV— t, il n'est pas inutile de voir qu'on pourrait opérer aussi, directement, sur les expressions réelles de ^, t^, C contenant, chacune, les deux produits de l'exponentielle e-/", ou e-Z^^+JV^"*^, soit par le cosinus, soit par le sinus, de l'arc

, / arcosg-H^cosp H- z cost\

produits afi'ectés de deux coefficients distincts, A et B dans \y A, et B, dans t., A2 et B} dans \. Grâce au dédoublement des équations du mouvement par l'égalisation séparée, dans les deux membres, des termes où figure le cosinus et des termes où figure le sinus, il viendrait, en effet, six relations entre les deux constantes/, ci> et les six coefficients A, B, ..., B,. Ceux-ci, d'ailleurs, étant partout au premier degré, on pourrait se donner à volonté deux d'entre eux, A et B par exemple, de même qu'on se donne L' dans la solution symbolique, où les coefficients L', M', N' n'ont de déterminé que leurs rapports mutuels. Et il resterait précisément six constantes (y compris/ et u), disponibles pour vérifier les équations en même nombre obtenues.

J'observerai encore, à propos des calculs du n*» 76 bis^ que la formule appro-

DANS LBS CRISTAUX TRANSLUaDES DE COlf TEXTURE SYMÉTRIQUE. 6oi

chée (c*), déduite (p. 4^9) de (c') par la suppression, dans le quatrième terme, des trois petites parties en U, V, W du numérateur, ne pourrait pas servir à l'évaluation du coefficient d'extinction/. Car il faudrait, pour cette évaluation, la différentier. Or, quoique U, V, W soient petits initialement^ c'est-à-dire pour les valeurs a% 6% c^ s^ de A^ B^, C^ SS leurs variations totales 8(U, V, W) ne peuvent pas être regardées comme petites, ou comme composées de termes beaucoup moins faibles que ces variations elles-mêmes. En effet, Ton a

6(U.V,W)=-»?^:^;-6.S= = -»vÇI(a.é-,.)8.S.;

et, si Ton admettait que U, V, W restassent constamment petits, ou que S(U, V, W) fussent presque négligeables, la valeur de — 5. S' serait tenue d'être

voisine tout à la fois, en grandeur relative, des trois expressions 2 (a', b', c'),

dont les rapports mutuels sont cependant quelconques.

II. Formule simple du coefficient d'absorption des cristaux symétriques. — Voici enfin une remarque importante, concernant la formule (y') (p. 486) du coefficient/ d'absorption, dans un cristal symétrique. Au dénominateur du dernier membre de celte formule, où l'on a vu que sinV estcoss, le produit si nV'cosU est le cosinus de l'angle, que nous appellerons V\, fait par le rayon lumineux avec la normale aux plans d'égale amplitude. Car le rayon lumineux, étant (p. 3oo) perpendiculaire à la vibration (/', m\ n') dans le plan de celle-ci et de la normale à l'onde, détermine, avec la vibration et avec la normale aux plans d'égale amplitude, un triédre où le dièdre U, opposé à la face Vj, se trouve compris entre la face V et une face de 1 droit. On a donc

cosV' = cosV cos — hsinV'sin - cosU = sinV cosU. 1 2 2

Et la formule citée (y') devient

/= Îl-.(a7''4-6'm'>-t-c'/i").

•^ cos 8 cosV,

Appelons r la longueur, > du rayon lumineux dans l'onde courbe de Fresnelj

c'est-à-dire la vitesse de propagation des ondes planes effectives, estimée le long du rayon. Alors Tcxpression de / sera

Le nouveau coefficient, plus simple, ^> y représente évidemment la vitesse,

estimée le long de la normale aux plans d* égale amplitude ou à la face d'entrée de la lumière dans le cristal, d'ondes fictives, qui seraient perpendiculaires au rayon lumineux et auraient leur vitesse de propagation égale à la longueur même r qvCa ce rayon dans l'onde courbe de Fresnel.

Quant au trinôme a'H-^- b'm'^-h c' n'^, il suffit de lui attribuer comme dénominateur la somme /'* -h m'* -h n'^ égale à i, pour reconnaître qu'il constitue, entre les trois demi-coefficients de résistance a', b\ c', une moyenne obtenue en comptant chacun d'eux proportionnellement à la force vive de la compo-

6o3 DBS TROIS SORTES DE RÉSISTANCES Qt'OPPOSE LÀ MATIËRB PONDÉRABLE

sanie du mouvement vibratoire suivant i'axe de symétrie correspondant; car celte composante est, à chaque inslant, la fraction /', ou m', ou n' de la quantité de mouvement, estimée suivant le sens même {l'ym\ n') de la vibration (').

III. Existence de trois sortes de résistances; réduction de leurs formules dans les corps pourvus d'un ou de plusieurs a^es de symétrie. — Il ne sera pas inutile de développer un peu plus, ici, les considérations du haut de la page 4^8, au sujet des formules générales de ces résistances (^j» ^-, ^,), de la matière pondérable au mouvement vibratoire de Téther, qui sont fonction des vitesses W V» Ç' de celui-ci. Dans un système rectangulaire donné d^axes Ox, Oy, Ox, où ces formules contiennent (à part le facteur — (x), neuf coefficients distincts a, b,

c, d, e, f, d', e', f, on peut remplacer, par exemple, d et d' par — ; — =b ;

et, alors, en prenant pour nouvelles constantes, que nous continuerons à appeler

respectivement d, e, f, d', e', i\ les demi-sommes > •••et les demi-diffé-

rences » •••» ces neuf coefficients deviendront a, b, c, d±d', e±e', fitf.

On pourra donc faire deux parts des résistances en question : Tune, où figureront a, b, c, d, e, f et où les trois coefficients indirects d, e, f de résistance se présenteront deux fois; l'autre, où figureront seulement, alTectés une fois du signe plus et une fois du signe moins, les trois coefficients indirects d', e', T.

La première part constituera une résistance analogue à celle qui dépend des accélérations \'y Vi Ç*> c'est-à-dire ayant pour composantes suivant les x^ y^ z (toujours au facteur près — |ji), les trois dérivées en W V? X^' de la fonction

?^'2^5v»H.£{;':+dVî;'+eî;'Ç'-i-f^'V,

résistance dont les composantes, dans un système rectangulaire ^2^e/co/i^<^ d'axes, contiendront, d'après les formules du n*» 5 (p. 275), les coefficients, analogues à 'a, b, c, d, e, f, de l'équation, dans le même système d'axes, de la surface invariable du second degré

(*) La fraction de l'énergie vibratoire (ou intensité lumineuse) introduite dans

le milieu, qui se trouve transmise, sous la face d*cntrée, à la profondeur w = -

parcourue au bout à'une unité de temps, a la valeur (e-/")': son logarithme naturel est donc, au signe près,

0) cosecosV,

On voit que les trois coefficients principaux de frottement 2a', ib\ 2c' y figurent en entier et non par leurs moitiés. De plus, la vitessede propagation des ondes en est éliminée, et il n'y parait, avec la direction (/', m', n') de la vibration, que les deux angles e, V, du rayon lumineux avec les deux normales aux ondes et à la face d'entrée.

AU MOUYRMRNT YIBRATOIRB DE l'ÉTHER. 6o3

dont V* Wi C désigneraient les coordonnées Xy y, z. La surface en question est un ellipsoïde, les coefficients a, b, c s'y trouvant positifs^ quel que soit le système rectangulaire d'axes choisi.

Quant à la seconde part, elle résultera de composantes, suivant les x^ y, z^ où (au facteur commun près — jji) \\ 'r\\ ^' auront comme coefficients (o, f» — e') dans ^,, (— f, o, d') dans <iJl^, (e', — d', o) dans<^,; et les formules (la) (p. 275) montrent que, dans tout autre système, des x^, y^t ^\^ ^^^ coefficients prendront des valeurs analogues, exprimées, si on les afTecte de Tindice 1, par les formules

à\=z A' {b' c" — & b") -^ q' {b' c — c' b) + i {bc' — cb'), e', =..., ri = ...,

revenant, si les nouveaux axes sont de mêmes sens relatifs que les anciens ('), à

d', = tf d' -h a' e' -4- a* f ', e', = . . . , f, =

Appelons «p, comme à la page 49») Vaxe d'asymétrie y droite émanée de l'origine et ayant,' suivant les x^ y^ z^ les projections d', e', f. Si a, ^, y désignent les angles qu'elle fait avec les Xy^y^y 2,, il viendra

d, = 9 / a ha h a - J = 9 cosa, e, = 9 cosp, f, = 9 rosy.

Donc, les trois coefficients d'asymétrie, dans tout système d^axes déduits par rotation d'un premier système rectangulaire, sont les trois projections respectives, sur ces nouveaux axes, de l'axe d'asymétrie. Et s'ils doivent avoir, dans le nouveau système, mêmes valeurs respectives que dans le premier, c'est que les axes coordonnés auront, individuellement, tourné autour de l'axe d'asymétrie ou, vu la conservation de leurs inclinaisons mutuelles, que la rotation se sera faite autour de l'axe d'asymétrie lui-même.

(*) Car les cosinus directeurs a, a\ a' étant ceux d'une droite normale aux deux directions (6, b'y b") des ^, et (c, c', c") des 2,, les deux conditions correspondantes de perpendicularité exigent qu'ils soient proportionnels aux trois différences b'c''—c'b''j b''c — c''b, bc'—cb'. Or, la somme des carrés de celles-ci est, en vertu d'une identité connue,

{b""-^ b"'-{' b'^) {c^-\- c"^-^ c"^)— {bc ^ b' c' -^ b' 0")^

c'est-à-dire l'excès de l'unité sur le carré du cosinus de l'angle des deux axes des y^ et desz,, ou le carré du sinus, i, de cet angle. Par suite, a, a' ya' égalent respectivement les trois différences considérées, prises ou toutes les trois avec leurs signes, ou toutes les trois avec les signes contraires. Or, nul passage ne se fait d'un de ces deux cas à l'autre, pendant la rotation continue qui peut, si tous nos axes sont de mêmes sens relatifs, amener le trièdre, supposé mobile, des axes des o;,, ^,, z, dans sa position effective, à partir de la position occupée par les a?, ^, x : car, les carrés de a, a', a" ayant pour somme 1, ces cosinus directeurs ne s'annulent jamais à la fois; et l'un d'eux au moins serait discontinu, au moment où la différence qui l'exprime changerait de signe. Ainsi, l'on aura, si les x^, y^,Zx sont de mêmes sens relatifs que les x^ y, z,

a = b'c"— c'b'^ a* —b" c — c' by a"—bc'—cb\

valeurs se réduisant bien à i, o, o au début, alors que by b' y b' sont o, 1, o et que c, dy c* sont o, 0, i.

6o4 ABSORPTION DANS LES CORPS ISOTROPES, OU MÊMB BIRÉFRINGBNTS»

Cela posé, admettons qu'il s^agisse d'un cristal, pourvu d'un €ixe principcU autour duquel une rotation d'une certaine fraction de circonférence amené le cristal en coïncidence avec lui-même ; et supposons qu^oo ait pris cet axe pour celui des z. Les trois parties delà résistance, tant les deux, de forme symétrique, dépendant, l'une, des accélérations Ç", t^*, Ç", ou à coefficients A, B, C, D, E, F, l'autre, des vitesses W t^', Ç', à coefficients a, b, c, d, e, f, que la troisième, dissymétrique ou à coefficients ±d', ±e', ±f', devront donc conserver, après une rotation exactement pareille des axes coordonnés eux-mêmes autour de 0.8, leurs expressions premières. Ainsi, les ellipsoïdes représentatifs respectivement des deux parties symétriques, si on les conçoit entraînés avec les axes, se retrouveront en coïncidence avec eux-mêmes : ce qui exigera évidemment qu'ils aient, tous les deux, pour axe de symétrie, l'axe même de la rotation ou des x^ et ce qui annulera, par le fait même, les quatre coefficients indirects D, E, d, e. Quant à la troisième partie, il faudra, pour qu'elle soit restée la même, que les axes aient tourné autour de l'axe d'asymétrie, comme on vient de voir : celui-ci se trouvera donc sur l'axe principal ou des z.

Par suite, s'il existe, dans le cristal, au moins deux axes principaux, comme il arrive dans ceux que nous appelons symétriques, l'axe d'asymétrie, tenu d'appartenir à chacun d'eux, se réduit à l'origine O; et l'on a 9 = o, c'est-i-dire d'= o, e'= o, f = o. De plus, les deux ellipsoïdes représentatifs ont respectivement deux axes et aussi, par suite, les troisièmes, orientés pareillement; ce qui, en les choisissant pour axes coordonnés, ne laisse plus subsister que les six coefficients directs de résistance A, B, C, a, b, c (les trois derniers, appelés a a', ib\ 2c' dans le n» 76 bis, au facteur commun près —[».). Et quand l'angle des deux axes principaux donnés diffère d'un droit, les deux ellipsoïdes sont nécessairement de révolution autour du troisième axe, perpendiculaire au plan des deux premiers. Alors, si Tun de ceux-ci est lui-même de révolution, les ellipsoïdes se réduiront à des sphères; et le cristal se comportera comme un corps isotrope.

Si enfin, sans qu'il y ait à considérer plus d'un axe principal, la rotation amenant le cristal en coïncidence avec lui-même est inférieure à une demi-circonférence, comme dans les systèmes du prisme droit à base ou carrée, ou hexagonale régulière, et dans celui du rhomboèdre, la coïncidence des ellipsoïdes exigera qu'ils soient encore de révolution, mais autour de Taxe donné; et il y aura isotropie du cristal autour de cet axe, isotropie entraînant les relations

L'isotropie sera symétrique ou dissymétrique, suivant que le coefficient ? d'asymétrie se réduira, ou non, à zéro. Or, il sera nécessairement nul si le plan des xy est un plan de symétrie, c'est-à-dire si Taxe d'asymétrie © ne peut pas plus se trouver du c6té des z négatifs que du côté des z positifs. Cela arrive quand le cristal, retourné de manière que l'un des deux bouts de l'axe principal prenne la place de l'autre bout, peut être, ensuite, amené par une rotation d'une fraction de circonférence autour de cet axe, en coïncidence avec sa position antérieure au retournement.

IV. Coefficient général d'absorption des corps translucides hétérotropes, où coïncident en direction les axes principaux relatifs aux deux espèces symétriques de résistances. — Prenons l'équation («') (p. 489) sous la forme, déduite de (168) (p. 4i4),

(1) L»VW-4- M»WU -h N»UV4- P^-h D'U -4- E^V -h F» W-h UVW= o;

RENDUS DIS8TMÉTBIQ0ES PAR LE MAGNÉTISME. 6o5

et différeDtioDS-la, en y faisant L, M, N, A, B, C égaux d'abord à /, m, n, a, by c, fl

puis croissants de 8L, 6M, 8N, 8A, 6B, 6C. Si 8U, 8V, 8W sont les variations simultanées des expressions {B") de U, Y, W (p. 4^), il viendra

(2) (m»W-+-/i'VH-D»+VW)8U-4-...-h2(/VWH-DP)6L-h...= o.

Or le coefGcient de8U, dans cette relation, est, d'après l'équation précédente (i)

spécifiée pour les valeurs /, m, n, a, by c de L« M, N, A, B, G, le quotient, par

— U, de /«VW-h P'4- E»V-h PW. De plus, la seconde des formules (8') (p. 489)

ÔA donne pour 81) l'expression — 2— ^ — 2(/8L + m8M4-/i8N); et l'on peut enfin

remplacer D, E, F par leurs valeurs — jtr~~^ v/~*> ce qui conduit à introduire, au lieu de P, le nouveau trinôme

(3) p = d/4-em + f/i.

L'équation (2) devient alors, en posant, pour abréger,

(4) K.-^\^yj A-'U'VW /"^\V' A-'V»WU /"^\W' '") et en divisant par 2 UVW,

,, r ,, // dp \1,, //^ p»-he»V-hPW\8A

Appelons H, I, J les trois nombres (positifs ou négatifs), de somme 1, ou les trois parties de l'unité

I //» p»-t,e'V4-PW\ I /m» p^-4-PW>+-d»U\ ,JL/^ \

et soient, en outre, /,, m,, n, les trois cosinus directeurs que définissent les formules

\ ( l dp \ i / m ep \ —}( IL ^P \

(7) < où

( K'=(-u+Fïïwy^(~y^---y-^(--w-^---y-

L'équation (5), multipliée par^,» et où l'on remplacera d'ailleurs /, m, n par ^QS(a, p. Y) ^ prendra la forme, analogue à la formule du bas de la page 485,

(8) (cosa--^/,)5L4-... = -c.»(^H^ + I 4. j —j ( . ).

C) Il est clair que, si dans cette équalion (8) l'on annule 8(A, B, C), elle deviendra l'équation différentielle totale en 8(^, m, n), nécessaire pour déterminer la surface de l'onde courbe (enveloppe des ondes planes de toute direction) dans l'hypothèse des milieux asymétriques qui font l'objet du n» 54 (p. 4«3) et de

6o6 ABSORPTION BANS LES CORPS ISOTROPES» OU PEU BIRÉFRINGENTS,

Par suite, la substitutioD, à 8( A, B, C, L, M, N) de leurs valeurs

^(a'a', 6^6',cV) et / ( X, |ji, v ) y/",

donnera poqr le coefficient / d'absorption, au lieu de (y') (p. 4^6), et en désignant par V| Pangle de la direction (/i, /n^ /ii) avec la normale (X, (i, v) aux plans d'égale amplitude,

cosV-îi^cosV,

On voit que, si d, e, f s'annulent, les fractions — Tj» — -y-» " w *^"*^ '*

même chose que —, ;; > •••» les sommes K,, K' se confondront avec K défini

par O") (p. 485); de plus, H, I, J ne différeront pas de /J, m], n] et /,, m,, n^ seront les cosinus directeurs /', m', n' de la vibration. Enfin, au dénominateur

de (9), le coefficient —^r~ de cosY^ (alors devenu cosV) exprimera, d'après

une des formules du bas de la page 485, le cosinus, qui s'y appelle cosV, de l'angle de la vibration avec la normale aux ondes; en ;sorte que l'on retombera bieo sur la formule {y') de la page 486.

Plus généralement, et vu la petitesse, dans tous les corps translucides, des coefficients d'asymétrie d, e, f, ainsi que des différences entre les carrés a^, &', c', les expressions (4) ^L (?) ^^ K' et de K, sont très grandes du second ordre, u> y étant peu différent de a, b, c, ou les binômes U, V, W s'y trouvant petits à côté

de -^ et, par suite, les expressions de rj » -y » ^ étant grandes, du premier ordre» en comparaison de o ou de a, à, c. En conséquence, au second membre de (9), l'expression ■ j;, ' est un nombre petit du premier ordre à côté de l'unité; et la fqrmule (9) peut se réduire à celle-ci :

(10) /= (sensiblement) • ^,,^ (Ha'-t- Iô'-h Je').

' cosV

Or, à l'espace u> que parcourt chaque onde, le long de sa normale, par unité de

temps, correspond le chemin — ^ décrit par elle sur une perpendiculaire à sa

face d'entrée dans le corps, c'est-à-dire au premier plan d'égale amplitude; car ce chemin, projeté sur la normale aux ondes, c'est-à-dire multiplié par cosV, doit donner eu. D'autre part, le trinôme Ha'-H I6'4- Je' est la moyenne formée entre

toute la cinquième Partie. Le rayon lumineux y aurait donc, pour l'onde dont la normale fait les angles a, p, y avec les axes, ses cosinus directeurs proportionnels aux coefficients de 6(L, M, N), savoir, à

cosa ^'i> cos? ^/Wp COSV K^'*!-