II

k '' cos V

Dans celui d^ondes parallèles à l'axe des z, où l'angle i est, au contraire, droit, il vient

UW = 0 et / = rry — y; i,^- »

•^ cos V U -h \V c'est-à-dire, comme au bas de la page 490 et à la page 491»

( pour U nul) /= -.-,t (pour W nul) /= — — , .

^ '' cos\ ^^ •' cosV

On voit que, plus généralement, le coefficient / d'absorption dépend du rapport mutuel de U et W, qui résulte lui-même de l'équation (18), où

U= -.- '. et W= -^. - ~. a* 0)2 c* w^

Je ne m'arrêterai pas à étudier son expression (21) pour les diverses valeurs de i\ non plus que les relations qu'elle peut avoir avec le mode approché de polarisation et d'orientation des vibrations dans les plans d'onde : étude que devrait précéder celle, encore à faire, de cette sorte de polarisation elliptique, se produisant alors, dont il est parlé à la fin du n<> 76 (p, 4B1) et que n*»us retrouvons ici.

RKNDUS DISSYNÉTKIQUES ET BIRÉFRmCKNTS PAR LE MAGNÉTISME. 6l f

Vin. Théorie générale de la translucidlté. — Généralisant la théorie précédente de l'extinction graduelle des ondes planes à mouvements pendulaires, imaginons notre milieu d'ubord transparent, ou parfaitement conservateur de l'amplitude des vibrations à toute distance, et régi par les équations linéaires, aux dérivées partielles d'ordres quelconques en œ^ y, z^ ty étudiées dans la note des pages !\-Z à 476; puis rendons ce milieu translucide, c'est-à-dire très légèrement opaque, on un peu extincteur sous les épaisseurs comparables à la longueur d'ondey en introduisant dans ses équations de mouvement de nouveaux ternies, pareils à ceux qui y figuraient avec ^, i»\, ^ différentiés par rapport au temps ^ mais où il y ait toutefois une dérivation de moins en t, c'est-à-dire où paraissent, par exemple, comme ci-dessus, les vitesses V, i»\', ^' au lieu des accélérations ç", T,', Ç'. A un degré assez élevé de précision, on trouverait, sans doute? presque autant de ces nouveaux termes qu'en avaient exigé d'anciens les divers phénomènes offerts par les corps transparents.

Il y aurait lieu, en effet, dans la théorie de la dispersion, d'uniformiser le frottement de Péther contre les molécules pondérables, c'est-à-dire les résistances proporiionnelles et opposées aux vitesses, comme nous avons dû uniformiser (p. 439) celles qui Tétaient aux accélérations; et il en résulterait, dans les équations de mouvement, des termes, en A, (V, t^', î^'), analogues à ceux, en

qui ont introduit (p. 44o) le terme de Cauchy dans la formule de la dispersion. De même, si le milieu contient de grosses molécules dissymétriques, où Tinégalitè des impulsions de l'élher sur leurs diverses parties a entraîné Paddition, aux équations de mouvement, des termes (218) (p. 4^6) expliquant les polarisations circulaire et elliptique ordinaires, des inégalités analogues, pour les résistances proportionnelles à la vitesse, y motiveront l'introduction de termes tout pareils

dz dy

11 n'y a pas jusqu'aux termes de polarisation rotatoire magnétique, en v (p. 47**)î e*- peut-être même à d'autres, semblables, où figureraient, sans le symbole Aj, les suraccélérations i^", X" au lieu des vitesses t/, Ç' (si l'on jugeait à propos de les introduire), qui ne pussent, à la rigueur, avoir leurs analogues d'absorption, où tj, \ et Vî Ç"» respectivement, remplaceraient ti', \' et t*, Ç". Comme les termes en v, tout au moins, contiennent le paramètre Aj ^^^ vitesses Ti', Ç', leurs corrélatifs d'absorption seront en A2(7i, Ç), ou ne feront pas partie des termes de Briot (p. 433); et leur admission semble devoir être moins difficile que ne serait celle des autres termes dont il s'agit, si tj, \ ou V, Ç' y figuraient non différentiés en x, y^ z. Car ni les termes de Briot en Ç, t,, Ç, ni les nôtres, en ^'', V, 5^', ne paraissent susceptibles de la dissymétrie caractérisant la polarisation rotatoire; puisque nous avons été conduits à les regarder, dans les trois équations du mouvement, comme les dérivées en Ç, t,, Ç, ou en Ç*, Ti", ^\ At potentiels, fonctions (du second degré) de ces trois variables respectives.

La généralisation indiquée ici n'est donc pas purement théorique.

Quoi qu'il en soit, l'hypothèse de translucidité reviendra à n'affecter que de très petits coefficients, 2a', q6', ..., les termes ainsi introduits pour expliquer l'absorption, tant ceux dont il était déjà question aux numéros précédents que les autres.

Cela posé, la proportionnalité de ^, t|, (;, dans les solutions simples symboliques, à l'exponentielle eAC— L.r— Mj--Ns)y/-i^ fera que ces divers termes auron.

6l2 LOIS GÉNÉRALES DB L'aBSORPTION DE LA LUMIÈRE,

la forme de leurs analogues ancieus, mais avec un facteur k^— i de moins (puisque toute dérivation en / introduit ce facteur), ou, ce qui revient au même,

avec les coefficients — — ' — ^-^l^, équivalant à — ^ , ' v^— i. Si, par

exemple, — 2 > r^ > * * * désignent les coefficients des anciens termes, l'introduction des nouveaux reviendra donc à remplacer —5» ^,» ••• par

ou a, 6, ... par

Dès lors, soient A, B, ... les coefficients modifiés, savoir, les coefficients primitifs a, 6, ... du milieu transparent ainsi accrus de petites parties imaginaires

et admettons que, L, M, N s'appelant /, m, n dans ce milieu transparent, Téquation, réelle par hypothèse, qui y reliait /, /ti, n à a, 6, ...,fût

(aa) F (a, 6, ...,/, m, /i) r^ o.

La forme analytique des équations de mouvement s*est conser\'ée. Donc, les mêmes calculs algébriques qui avaient conduit à cette relation (aa) et qui continueront à s'appliquer aux exponentielles, maintenant un peu moins simples, de la question, subsisteront. Et ils donneront actuellement

où L, M, N auront désormais, à côté de parties réelles, que l'on peut continuer à appeler /, m, n (sans affirmer encore leur identité à celles de mêmes noms pour le milieu transparent primitif), de très petites parties purement imaginaires 6L, 6M, 6N, imposées, par la présence de 6A, SB, ..., aux coefficients de a;, y, z dans l'exponentielle c*<'- ''•*• — Mj'-Na)^—! des expressions Ç, tj, Ç symboliques. Nous

savons d'ailleurs que 8(L, M, N) auront les formules — ^^. — cos(a', {»', 7'),

si /désigne le coefficient d'absorption et si a', p', y' sont les trois angles faits avec les axes par la normale aux plans d'égale amplitude ou à la face d'entrée des ondes dans le corps (').

Les très petites variations 6 (A, B, ..., L, M, N) étant ainsi des quantités purement imaginaires dans Téquation de forme réelle

F(a-i-5A, 6-i-ôB, . . ., /+ 6L, m + 6IW, n 4- 6N) = o,

(*) Nous appellerons donc ici cos(a', P', y'), et non plus \ |x, v, les trois cosinus de la normale à la face d'entrée de la lumière dans le corps, c'est-à-dire aux plans d'égale amplitude, parce que nous aurons besoin des lettres X, ji, v pour désigner certains déterminants partiels, généralement imaginaires.

PAB LBS CORPS TRANSLUCIDES. 6l3

qui revient sensiblement à

F(a, 6. . . ., /, m, «) + 51 8A + 5^ 5B -*-. . .+ ^ 6L + ^ 6M + ?- 6N = o, ^ da dlf dl dm dn

le premier terme, F(a, 6, ... , /, m, n), représente à lui seul la partie réelle de l'équation, et, les termes linéaires en 6(A, B, ..., /, m, n), la partie imaginaire. Donc on aura, séparément : i* d'abord, F(a, 6, ..., /, m, n) = o, c'est-à-dire,

après substitution îi l, niy n de ^"' r^ J ) ^^^ seront donnés les angles oc, p, y

de la normale aux ondes avec Aes axes), la même équation (22), aux vitesses de propagation (i> des ondes, que dans le milieu transparent primitif; et a*

aa dû dl dm dn

ou bien, vu les valeurs indiquées de S(A, B, . . ., L, M, N) et en résolvant finalement par rapport à /,

( ^ K ^ __ da do

•'"5F ; 5f ~ ^F ,' -r; cosa 4- T — cos B h- 3— cosy dl dm ^ dn *

Telle sera donc la formule du coefficient d'absorption /.

On sait (p. 47^) que les dérivées partielles — r r du premier membre

de (2a) sont proportionnelles aux cosinus directeurs du rayon, suivant lequel se transmet le mouvement vibratoire dans les ondes planes ayant pour équation Ix -i- my + ns = t^. Par suite, le dénominateur de l'expression (a4) de /est le

produit du radical 4/ ^^r "*" j — 2 "•" T~i" P*"" '^ cosinus de rangle, appelé plus

haut \'\ (p. 601), que fait la normale aux plans d'égale amplitude avec le rayon correspondant aux ondes considérées. Ainsi, pour un mode donné de polarisation des vibrations, dans des ondes de direction connue et de propagation uniforme, c'est inversement à ce cosinus (plutôt qu'inversement à cosV"), ou inversement au sinus de r inclinaison du rayon sur la face d'entrée de la lumière dans le corps, que se fera l'absorption.

Nous l'avions déjà constaté (p. 601) dans les corps pourvus de trois plans de symétrie rectangulaires.

IX. Formation directe de son équation caractéristique, — L'équation différentielle ( a3 ) pourra d'ailleurs se former sur les équations mêmes du mouvement, par la méthode exposée aux pages 474 et 47^, c'est-à-dire sans recourir à Téquation finie F = o.

En effet, continuons à appeler L', M', N' les coefficients de e^it—Lx—My—^s)/^ dans les expressions symboliques de \, t\, ^.

La substitution de celles-ci dans les équations de mouvement donnera les relations (y) de la page 474? sauf l'accentuation actuelle de L, M, N dans ces équations. Mais, à raison des petites parties imaginaires

maintenant adjointes aux parties réelles a, 6, ...,/, m, n des paramètres A

6l4 THÉORIK DK LA TRANSLUCIDITÊ : CALCUL DU GOBPPIGIBNT

B, ..., L, M, N; CCS équations s'écriront

9, X» <Vî •••' 4^2 y désignant les mêmes polynômes, généralement imaginaires, en <i, ^, ..., /, m, /i, que dans ces équations (y) relatives au milieu transparent, et 5(?» X' +î •••» ^i) leurs variations linéaires, simultanées aux variations élémentaires 8 (A, B, ..., L, M, N), indiquées ci-dessus, de leurs variables.

Or ajoutons ces trois équations, respectivement multipliées par les fonctions >', |x', v' de /, m, n que définissent, à la page 47'î» les équations (8): et il viendra évidemment

L'(V89-<-[x'69,H-v'8çj)-hM'(V8x-+- Ia'SxiH- v'Sxi)

-h N'(X'8<;;-f ix'6t>, + v'o^/j) =0.

Une altération insignifiante des coefficients L', M', N' permet de leur substituer, sauf erreurs du second ordre dans cette équation, leurs valeurs proportionnelles X, jjL, V du cas de transparence définies par les équations (y) (p. 474 )> déterminanis partiels formés, comme X', p.', v', avec les éléments 9, y^ <)/, ... et fonctions explicites, également connues, de /, m, n. Alors on a

<i6\ ^ ^(^'5?-+-1*'^?i-+-v'89j)h-îx(X'8x4-îi'8x,-+-v'8xj)

^ ^ / + v(V8t^-+-lx'6t},4-v'8^J*,) =0.

Or il suffira de remplacer, dans cette équation, 89, 69,, . . ., ù^^ par leurs déve> loppements

aa do al dm dn da

pour obtenir Téquation difi'érentielle existant entre les variations infiniment petites 8A, 8B, ..., 8N, qui peuvent être, toutes, arbitraires à l'exception d'une seule. Leurs coefficients y seront donc, à un facteur commun prés, identiques à ceux que contiendrait l'équation même aux différentielles totales 6F = o, si on la déduisait de l'expression de F censée formée explicitement; et ils ne pourront manquer d'être réels, comme dans cette dernière équation, du moins après suppression de facteurs imaginaires communs.

X. Application de cette méthode au cas de co'iticidence des axes principauXf pour les deux parties symétriques de la résistance. — Revenons maintenant, pour leur appliquer cette méthode générale, à nos équations de mouvement (8') (p. 488), où nous pourrons réduire A, B, C à a, 6, c et où D, E, K

seront ~ — ^— 1. A part le facteur — Ar', les polynômes 9, x> 4*» • • • » ^'j» ^"

auront les expressions suivantes :

continuant à y appeler U, V, W les trois différences , , ^- — =-, — (/'H- m'-4-/i').

(27) {?,= m/+jv-»i Xi=V-+-m', ^,= m/i-^v'-^

?a= nl—^T v^=T, X5= «'W -^ 7: V~ »"» +1= W -¥ n\

B* ABSORPTION OU d'eXTINGTION DES ONDES LUMINEUSES. 6l5

Or ces valeurs de 9,17, •••7 4^2 ne font diiïércr le système (6) d*éqoatioDs (p. 47^)» do"*» dépendent \', jx', v', du système (y) (p. 474)» dont dépendent \ 11, V, que par le signe de v^ — i. Donc les déterminants partiels V, p,', v' seront les conjugués de "k, p., v. De plus, elles donnent immédiatement à (aG) la forme très symétrique

(28) XV5U-f-...-f-[X(/V-^mHL'H-nv') -+- >.'(/X-h mpi -i-nv)]5L-i-.,.= o,

où Ton voit, d'une part, que le coefficient de 6U, produit des deux facteurs conjugués X, X', est le carré de leur module commun; d'autre part, que le coefficient de 6L, somme de deux produits conjugués, est réel. Ainsi, l'équation (28) a bien forme réelle, comme il le fallait.

Mais on voit aussi que chacun des deux produits conjugués dont il vient d'être question possède un facteur trinôme, /X'-h mp-'-h nv' ou ZX -h mp -f-nv, très petit à raison de la quoéi-transversalUé des mouvements qui résulte, comme on sait, de la petitesse de d, e, f, U, V, W. Donc les seuls termes notables de Téquaiion (a8) sont ceux en S(U, V, W); et cette équation est réductible, sensiblement, à

(29) U'SU -h ixHi'SV -t- w'SW = o.

Remplaçons-y 5U, 8V, 8W par leurs valeurs

puis 6A, ..., 5N, /, m, n par leurs valeurs

l—{a'a\ ..., -/cosr'), — y' ^';

et nous aurons enfin le coefficient d'extinction / sous la nouvelle forme approchée, extrêmement simple,

(30) /= (sensiblement) — r^^ — r-^-7 — -^ -, — •

XI. Introduction des directions successives de la vibration, dans la formule du coefficient d'extinction. — Soit Ge»*^ la constante arbitraire affectant les trois déplacements symboliques ^, tj, Cî et désignons par /", /n", n' les arguments des trois quantités imaginaires \ p, v, dont les modules sont v^XV, v/p-P-'» v^V. L'expression symbolique de ^, par exemple, sera dès lors

G s/y^ ef^^iS-^f-^kXt-L.v^VLy-^z)]^

OU bien, en appelant u la distance arcosa'-f-^cosp'H- -5 cosy' du point ( a?, ^'j « ) à la face d'entrée de la lumière dans le corps translucide.

Le déplacement effectif \ suivant les x^ dans le système physique considéré d'ondes, en sera la partie réelle, savoir

( 3i ) \ = G s/Xk'e-f" cos[g -h l" -i- k {t — Ix — my — nz)].

6l6 COEFFICIENT d'eXTINGTION DES ONDES, EN FONCTION

Le cosinus qui y figure ayant pour valeur moyenne de son carré (durant aae période) - » la valeur moyenne de \^ est donc

OlL.Ç^=Xv(^Vv-y

Et, de même, la vitesse analogue ^ aurait pour valeur moyenne de son carré

01t.Ç'» = Xv(^e-»A

Ces valeurs moyennes sont donc, toutes choses égales d'ailleurs, proportionnelles au produit XV. Comme on aurait des moyennes analogues pour V et ^'^» pour ^ et Ç'^, la formule approchée (3o) du coefficient d'extinction revient à

(3.) /= (sensiblcmeat) -^ a'3IL(r ou r») -H 6;^(Vou V») + o'3^^^ ^ ' •' ^ 'cosV ^1L(Ç'h- V-«-Ç^ ou Ç'^-hV'-f-Ç'^)

Telle est évidemment la généralisation des deux formules (!^') (p. 49^) et (i6) (p. 609), spéciales aux cas des milieux à vibrations simples rectilignes et circulaires, ainsi que la réponse, bien naturelle, à la question que nous nous étions posée (p. 49^) après avoir écrit la première de ces deux formules.

Supposons qu'on ait introduit, dans l'expression (3a) de /y les carrés moyens des vitesses vibratoires \\ V» Ç', qui évaluent précisément, en chaque point ( Vf y, z), Vintensité lumineuse ou d'éclairement produite par ces vitesses. Alors les rapports des trois carrés moyens respectifs 5ÎL(ï'S fi'^i Ç'') à leur somme représenteront les fractions de l'intensité totale qui correspondent aux trois composantes du mouvement suivant les axes principaux du corps. Et la formule (32), doublée afin de donner le coefficient a/ d'absorption relatif non plus aux amplitudes, mais aux forces vives ou aux intensités lumineuses elles-mêmes, pourra s'énoncer ainsi : ^

Le coefficient d'absorption if est sensiblement le produit de la vitesse de propagation des ondes, estimée suivant la normale à la face d^ entrée, par la moyenne, entre les trois coefficients principaux ia\ 26', 2 c' de frottement^ obtenue en affectant chacun d'eux d'un coefficient d'importance égal à la fraction de l'éclairement due à la composante du mouvement vibratoire suivant l'axe principal correspondant.

Formulée en ces termes, la loi est donc la même que pour les cristaux symétriques.

XII. Expression concrète, aussi exacte que possible^ de ce coefficient, — L'équation exacte (28) donne mêmes coefficients à 8(A, B, C) que l'équation approchée 29); et elle ne change, ainsi, rien dans la proportion suivant laquelle a\ b\ c' contribuent à former /. Mais le coefficient de 6L, par exemple, dans (28), au lieu de se réduire, comme dans (3o), à — 2(XX'-h {jL{jL'-h w')/, y dépasse cette quantité de

X( /X' •+- m jjl'-h /iv' ) -f- X' ( ZX -I- m jx -f- /i v).

Autrement dit, si Ton appelle, pour abréger, C3, ci' les deux trinômes conjugués /Xh- m|x-i-nv, /X'-+- /nj^'-f- /iv', et o, le trinôme essentiellement positif XX' + {jL(i'-i- w', les trois coefficients de 8(L, M, N) deviennent, au facteur com*

DES INTOSITÉS LLMIISELSES SUIVANT LES AXES PRINCIPAUX Ul COUPS. 617 mun près — acjp

,o,x , Xa'H-Vnr jxo' -+- u' m vbj'+v'bi

ao, 20, aoj

Nous savons ( p. 6i3 ) que ces trois quantités sont entre elles comme les cosinus directeurs du rayon lumineux. Soit donc R le radical, pris en valeur absolue,

alors les expressions (33) seront les produits respectifs de H par les trois cosinus directeurs du rayon. Appelons, comme plus haut (p. 601 et 6i3), V, l'angle de ce rayon lumineux avec la normale aux plans d'égale amplitude; et il viendra aisément

1 Wa' -4- [X[x' b' -h vv' c'

H o, cos \\

Pour tâcher d'introduire, au lieu du radical R, la longueur r du rayon lumineux, comme nous avons pu faire plus haut (p. 601), cherchons d'abord l'angle e du rayon avec la normale aux ondeâ, laquelle a les cosinus directeurs (o/, cum, (i)/i. Vu les expressions (33) qui, multipliées par /, m, n et ajoutées, donnent

r-hm^-hrr , cest-à-dire — r >

nous aurons

ta / I co' \

, b> rcoss . , , . . ...

et, en remplaçant — par — ti — > puis résolvant par rapport à la parenthèse du

second membre,