PRESQUE À PRIORI, DE PLUSIEURS DE CES LOIS, PAR FRESHIEL. XI

Aussi Fresnel a-t-il pu, sur les indications fournies par quelques faits d'expérience le plus souvent très vulgaires, deviner au moyen de ce principe de simplicité maxima les phénomènes les plusdéli-

rents les plus complexes, un pas considérable vers la simplicité, qui serait même suffisant, i Tétat statique, pour atteindre l'isotropie.

On peut Yoir, sur ce sujet des solides isotropes déformés, considérés dans les lois de leur équilibre et de leurs vibrations, comparativement aux solides isotropes et à l'élher des cristaux biréfringents, les pages 665 à 678 de mon Volume de i885 intitulé Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques, etc.; et mon Mémoire sur les ondes dans les milieux isotropes déformés, résumé, dès le 3 juillet i865, dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (t. LXI, p. 19), mais publié, en 1868 seulement, au Journal de Mathématiques pures et appliquées (2* série, t. XIII, p. 209 à 3^i).

Le principe, mis en vue ci-après (p. xiii), de Fresnel, touchant la dépendance exclusive où serait, de la direction des vibrations, la vitesse (•) de propagation des ondes planes, ne s'applique pas entièrement à ces milieux, quoique les formules (i3) et (18) du Mémoire cité y donnent (avec les notations du présent Ouvrage), entre la direction (approchée) (/',, m',, n\) de la vibration et celle (/, /yt, /i) de la normale aux ondes, une double proportion, déforme rationnelle,

l\{aH*-^b^m\^'^c'^n\^ — a^) ~~ m\{a^l\^-h b^m^ -hc^n\* — b^) ^ /i

"" n\ (aH\^ -f- b^m\* -h c^n\* — c^)'

définissant généralement la direction des ondes en fonction de celle des vibrations et, par suite, faisant, en définitive, tout dépendre de celle-ci. En effet, dans le cas le plus intéressant, point de départ indispensable de la généralisation qui a conduit Fresnel aux lois de la double réfraction, et qui est le cas d'isotropie autour d'un axe, comme Taxe des z par exemple, où, b = a, cette double proportion devient indéterminée, du moins en partie, à raison de la forme qu'elle prend alors et qui est, comme on le reconnaît aisément,

l\n\^ m;/ij2 n\{n\^^i)

Elle se trouve satisfaite, quelle que soit la direction (/, m, /t) de la normale à l'onde, par les deux vibrations (iTi, m',, n\ ) se faisant, dans le plan de Tonde, Tune perpendiculairement à Taxe, ou avec n\ = o, l'autre dans le plan de l'axe et de la normale à l'onde, ou rendant /, m respectivement proportionnels à l[ , m[ . Or, si Ton considère la première, où /',, m\y n\ sont entre eux comme — m, /, o, mais qui fait un angle constant avec l'axe, sa vitesse (o de propagation varie avec l'inclinaison de Taxe sur le plan de Tonde et dépend ainsi d'autre chose que de la direction de la vibration par rapport à Taxe ; car c'est seulement dans un cas particulier, où les pressions déformatrices subsistent encore, savoir, pour une loi d'actions moléculaires très spéciale, que cette vitesse de propagation se réduit à une constante. Quant à l'autre vibration, d'inclinaison variable par rapport à

XII SIMPLICITÉ DES LOIS DYNAMIQUES DE l'ÉTHER, EXPLIQUANT LA DÉCOUVERTE,

cats et les plus cachés. Parmi les mémorables applications qu^il en fit durant sa brève carrière, il faut signaler surtout le double postulatum, si bien confirmé par la théorie mécanique (p. 4^0

Taxe et à laquelle la principe de Fresnel ferait supposer une vitesie ta de propagation variable aussi, c'est justement elle qui a vitesse de propagation constante, du moins dans un milieu désormais soustrait aux pressions déformatrices ayant altéré d'une manière permanente son isotropie. Ces détails sont démontrés au Paragraphe VIII du Mémoire cité du Journal de Mathématiques : j'y reviendrai d'ailleurs à la fin de cette Note.

Le principe de Fresnel ne s'applique donc pas aux solides primitivement isotropes, déformés pareillement tout autour d'un axe.

Mais insistons un instant sur le cas, plus général, d'un milieu isotrope déformé où a, by c sont inégaux, et où ce principe s'applique à très peu près. L'on remarque, en remplaçant /',' par i — m\^ — n'^ dans le premier rapport de la double proportion (c) ci-dessus, et, de même, m',', n[^ par les valeurs analogues dans les deux autres rapports, que cette double proportion (e) prend la forme suivante, où entrent seulement par leurs différences les constantes a', ô', c' du milieu et seulement par leurs rapports les cosinus directeurs l\f m',, n\ :

Alors les carrés des trois dénominateurs binômes ont pour leur somme, figurant par sa racine carrée dans les formules correspondantes des trois cosinus directeurs /fa), mw, /lu), ou cosa, cosp, cosy, de la normale à l'onde, l'expression simple

[b^—c'y /c^-a^y fa^^b-y

Quant à la vitesse (•> de propagation des ondes dans le même milieu isotrope déformé, elle a pour carré, à des écarts près comparables aux carres des petites différences existant entre a', b"^ et c^,

0)' = a^ l\^ 4- 6' m\^ -\- c» n\^ + - (a^ cos' a 4- 6' cos' p -i- c» cos' r — ^^jt^±SL\ :

9, p y désignent deux certains coefficients, spécifiés dans le Mémoire cité et caractéristiques, l'un, p, de la nature du milieu isotrope primitif, l'autre, ff, par son excédent sur p. de la partie des pressions déformatrices qui subsiste encore. Enfin, les constantes positives peu différentes a', b', c^ dépendent de la nature du corps isotrope primitif et des déformations qu'il a subies : elles auraient, avec les notations du Mémoire cité de i865 ou de i868, les expressions respectives

ji 4- ff 5 hp{a, by c), où a, 6, c sont alors de très petites quantités de

l'ordre des dilatations permanentes produites, et ayant entre elles les rapports