RAMENÉS A DES REFROIDISSEMENTS OU ÉCHAUFFEMENTS PAR CONTACT

163. Premier exemple : refroidissement^ par rayonnement, d'un mur d'épaisseur indéfinie; calcul de la fonction auxiliaire 7. — Soit d'abord un mur aj^ant pour face, indéfinie en longueur et largeur, le plan des yZy et s^étendant sous une épaisseur ou profondeur très grande, du côté des x positifs, avec ses températures u fonction seulement du temps t et de la distance ^ à la surface libre. On donne, à Tépoque t = o, ses températures u=z/(x); et celles-ci sont supposées avoir sensiblement, pour x assez grand, une valeur Uq constante, que Ton pourra regarder comme se conservant, à ces grandes profondeurs x, durant un temps illimité. Dès que t excède zéro, les espaces situés du côté des X négatifs sont censés tenus constamment à la température Ue=o; et la surface x=o du mur rayonne désormais

vers ces espaces, par unité d'aire, un flux K-^ égal à A: (w — w^),

ou à ku» On a donc ici Ug^^ u — r ^ ^^ ^ > ^^ ^^ J ^ ^^^^ ^^ poser ,

. , . \ du

Cette fonction o vérifie évidemment, comme u \ i** la première

équation indéfinie (2), où A^ se réduit à -7-7; et 2" la condition

définie o = Uq pour x très grand (là où u ne varie plus sensiblement avec X et où, par suite, ç se confond avec u). Mais, déplus, elle satisfait à la relation spéciale cp = o (pour x = o), qui est celle que vérifierait 2/ à la surface si le refroidissement avait lieu par contact. Donc, le seul caractère qui distingue (p, de ce que serait i^ dans ce cas du refroidissement par contact, consiste en ce que

l'état inilial y est, d'après (/(), ? =/(^) — jf'i^)^ ^' ^^^ o =/(x). Par conséquent, (f prend l'expression qu'aurait a, dans un refroidissement par contact où les valeurs initiales de la température seraient celles de la fonction

Formons u pour un tel cas. La condition w = o sur la face ^ = 0 se trouvera vérifiée d'elle-même, si l'on imagine un massif occupant tout l'espace, par l'adjonction idéale, au mur proposé, de son