CALCUL DE LA PONCTION AUXILIAIRE

Or, si l'on effectue, dans son second membre, rintégration en a, il devient visible que, pour les grandes valeurs absolues de x, a se réduit bien à F(=iioo), ou à ±: i/qi^^ sorte que toutes les conditions du problème se trouvent satisfaites. En effet, l'on a (')

(76Û) f e-<«*')*'cos[(a: — Ç)al(fa =

(j'-Çi»

\a\fi

et l'expression (7) de u revient à la suivante, obtenue en premier lieu par Laplace,

(8) u = —r / e i«vF{J)rf$ = ~/ e-<^'F(j7-4-2aa)//)c^a),

OÙ le troisième membre se déduit du second en adoptant la nouvelle variable d'intégration w = ^ — - • Les seuls éléments influents

de rintégrale en w sont évidemment ceux où l'exponentielle e"*^' est sensible et où, par conséquent, la variable w ne se trouve pas très éloignée de zéro. Or, dans ces conditions, si x est très grand en valeur absolue, Y \x -^ 1 aiù \J t) se confond avec F(ihoo) ou avec dz Mo ; et il vient bien a = dz Wo> v" ^^ valeur connue, y/îc, de

l'intégrale Ç e-'^'ûfw.

La formule (7) de u convenant ainsi pour (p, sous la condition F( — x)=z — F(:r), développons-j le facteur F($) cos(a^ — a$) par la formule du cosinus d'une différence; et séparons, dans le produit, la partie en F($)cosaÇ, impaire par rapport à $, ou qui aura sa valeur moyenne nulle et disparaîtra, de la partie ^oat/e, en F($)sina$, qui aura même valeur moyenne pour $ négatif que pour ^ positif. 11 suffira donc, en doublant le résultat, d'intégrer la partie subsistante entre les limites i = o, S = 00, qui sont celles où la fonction F(Ç) est donnée directement dans notre mur; et la substitution finale, à F, de son expression (5), donnera, comme formule de (p utilisable pour le problème posé, si nous désignons

(•) Même Cours d'Analyse infinitésimale [Calcul intégral, Compléments, p. 532*, formule (i3i)].

8 BEFROIDISSBMENT) PAR RAYONNEMENT, d'uN MUR ÉPAIS :

d'ailleurs plus explicitement par <p(^, t) cette fonction (p,

ho»

(9) <f{x,t)=^lff e— «■'si„aarsino.Çf/(0-^/'(î)]''«rf$-

164. Formules de Fourier et de Poisson pour les températures du mur. — La température u s'obtiendra maintenant par l'intégration de Téquation linéaire (4), devenue

(ro) -j hu = — ho{Xf t)f

dx *

et qui est simplement différentielle, mais à second membre. Son intégrale avec constante arbitraire c est, en remplaçant sous le

signe / , pour plus de clarté, la variable d'intégration x par Ç, a — ce'**— hef^' i <p({, t) e-^^ d^. Posons-y, pour rendre constantes les limites d'intégration,

et elle prendra la forme assez simple

Si l'on fait très grands a: et, à plus forte raison, a- -h Ç, la fonction 'f se réduit à {/o^u^l que soit t] et le dernier terme de (lo 6/5)

devient huo f e'^^rfJJ, c'est-à-dire Uq. Comme la température u

doit alors se réduire elle-même à Uq, son premier terme, ce^^j ne peut pas y devenir infini; et l'on est tenu de poser c ^=^ o. On aura donc, en définitive,

(II) u = hf (?(a?-4-î,0e-^^rfï.

Il n'est pas inutile de reconnaître que cette formule de u vérifie bien les équations du problème. Et, d'abord, elle satisfait, on vient de le voir, à la condition u= Uq pour x infini. De plus, d'après l'équation même (10) dont on l'a déduite, elle vérifie la