CALCUL DES TEMPÉRATURES SUCCBSSITES DU MUR

condition de rajonnement spéciale à j; = o, et même la condition d'élat initial, u =f(x) pour / = o. Car, donnant à celte époque,

diaprés (4) où (p est alors /(^) — xfi^)^

elle conduit par Tintégration de cette équation différentielle à poser, si C désigne une constante,

u—fix) = Cc^'.

Or, pour X infini, u et/(x) se réduisent à Uq] ce qui oblige à faire C= o. Il vient donc u=r^/(x) à l'époque considérée ^ = o.

Enfin, u vérifie l'équation indéfinie du problème, qui est la première (2). Car, 'f y satisfaisant, son expression (4), portée dans cette équation (2), donnera

on bien, en intégrant par rapport à ;r et appelant ^{t) \a. constante arbitraire introduite.

Or, pour X infini, u se réduit à Wq, et le premier membre s'annule quel que soit t; ce qui oblige, pour empêcher le second membre de devenir alors infini, à poser <{;(/) = o. C'est dire que u vérifie l'équation indéfinie (2), comme les autres conditions ou relations du problème.

La formule (11) de u contient donc la solution cherchée; et nous pouvons y substituer à <f(x -^^y t) son expression tirée de (9). Il vient

(12) u=^Ç f f e-Ai:-«*«''sin(aa7-haOsina5[V(î)— /'(W^ï^a^- L'intégration relative à Ç porte sur l'expression e-^ls\u{ax -h aÇ) e£Ç= (sinaa:) (e-'^ÇcosaÇc?Ç)-i-(cosaj?)(e-^^ sinaÇ rfÇ);

lO REFROIDISSEMENT, PAR RAYONNEMENT, D*UN MUR ÉPAIS :

et elle s'effectue immédiatement : car on sait que

Elle donne ainsi, comme résultat total,

acosa^r -{^ hs'max

Et la formule (12) devient celle dont Fourier s'est servi dans la question, sans indiquer comment il y était parvenu (*),

(.3) a = |/j"'[A/a)-/'(S)].-"''''sin,r ''°^"^;r""rf»<^.

Il convient d'en éliminer la dérivée/'; car l'état initial, qu'exprime la fonction arbitraire y, peut n'être donné que d'une manière empirique, au moyen, par exemple, d'une suite de valeurs numériques difficile à difTérentier, ou peu propre à fournir f. Cette élimination se fera en considérant à part, dans le second membre de (i3), l'intégrale où figure /'(Ç). On peut, en appelant Ç| une quantité très grande, indépendante de a et que, finalement, l'on fera croître sans limite, l'écrire

Eflectuons par parties l'intégration en Ç, et observons quey(Çi) se confond sensiblement avec /(oo), qui est la constante donnée Uq. L'expression (i4) devient

- —l e-o^-^^ ~-^^ s,n(^«) da

f '^tJ ) f^^)^ <i^^h^ aco%a^d^d\.

Or, ici, le premier terme est annihilé par le facteur sin(Ç| a),

( ' ) Extrait d'un Mémoire sur le refroidissement séculaire du globe terrestre (1820), t. II des Œuvres de Fourier, p. 276. Dans un autre Mémoire, ultérieur (de 1827), il semble (même t. II, p. 117), nrieltre en doute cette formule, qui est cependant exacte.