VINGT-DEUXIÈME LEÇON

APPLICATION, FAITE PAR FOURIER, DU PROBLÈME PRÉCÉDENT, AU REFROIDISSEMENT SÉCULAIRE DE LA CROUTE TERRESTRE.

165. Cas d'une température initiale constante : première réduction. — Supposons maintenant, avec Fourier, que la température initiale f{x) ait été Wq dans tout le mur, et non pas seulement aux grandes profondeurs x, La formule (16) devient alors

et l'on peut y faire immédiatement l'intégration relative à Ç. Effectuons-la d'abord de zéro à une valeur fixe très grande Ç|, que nous rendrons plus tard indéfiniment croissante. Nous aurons

/ ox 2^0 r* „,„,, acosaiT-h Asinaa? / . ^ ,1 — cosJia\ , (18) a= — -I g-«»a'< — (sinJia-f-A ^^ ) rfa.

A mesure que $4 grandira, le facteur entre parenthèses (sous le signe / j, affecté de courtes oscillations, variera de plus en plus

vite avec a, de manière à prendre finalement pour valeur moyenne, dans les plus petits intervalles sensibles, la valeur même de son

seul terme non oscillant, qui est - • Ce facteur équivaut donc, en

définitive, dans l'intégrale, à - ; et il vient l'expression de a, due

à Fourier,

2huo /** c-«'«'' / , sinaa?\ , (19 M= / -r rr(cosaa7-f-A ) da.

MUR RAYONNANT, A TEMPÉRATURE INITIALE UNIFORME. l3

166. Expression des températures successives du mur par l'intégrale / e-^* dw, — Pour réduire plus complètement l'intégrale définie simple qui y figure, di (Té reniions u par rapport à ty et remplaçons dans le résultat, sous le signe / , le facteur

— — T^ par -^ — -j- — 1 . Nous décomposerons ainsi l'intégrale obte-

nue en deux, dont Tune sera proportionnelle au second membre de (19), ou à u. Et il viendra, par la transposition de celle-ci, Téquation simplement différentielle en u et /, mais avec second membre,

(20) -3 a«A«tt — — / e-"'«*'(cosaar-+- A ] doL.

^ ' dt T. X \ « /

Son second membre peut se simplifier. Pour abréger, appelons I Tinlégrale définie, fonction de x et de /, la plus compliquée qui y figure, ou plutôt posons

(21) 1= -7^ / e-«'«*'— -^a; d'où

(21 bis) -j- = -— / e-*»**''cos(aa7) rfa.

Celte dernière intégrale définie sera donnée par (7 bis) (p. 7 ), OH l'on fera Ç == o ; et l'on aura

«^ xay/t

Comme l'intégrale I s'annule, dans tous ses éléments, pour j: = o,

^rfx; et il vient, en adoptant,

sous le signe / , la variable d'intégration (o = >

ia\Jt J^ Cela posé, le dernier membre de (20) s'exprime, d'après (21)

l4 RBFROIDISSEMKNT d'uN MUR À FACE RAYONNANTE

et (21 bis)^ au moyen de 1; et cette équation différentielle (20) revient à

Intégrons-la par la méthode ordinaire de la variation des constantes, c'est-à-dire en posant « = 0^"**'', avec c variable. L'on au ra

dt ^Tz \ h dxj ^^ \ dt dxj

Multipliée par rf/, et intégrée en chaque point (c'est-à-dire sans faire varier x) à partir de l'époque ^ ==: o où l'on avait évidemment c = M = Wo> cette relation donne

(25) c = MoH

i^ ij' 'irfe-«'A«£ __ a»^ f\-uv.^t ^ dt\ .

Effectuons par parties la première intégration indiquée au second membre; et observons que, I, pour t nul, étant — [vu

sa dernière expression (28)], le terme intégré correspondant à la limite inférieure détruit justement le premier terme, Uq, du second membre. Il viendra

Enfin, ^^^^ et ^ sont, d'après le troisième membre de (28), les produits respectifs de e" ^^' par S^.^'L^ et par ^ (-^) ; de sorte que la fonction sous le dernier signe / , au second membre de (26), est, en posant finalement ah\ft-\ ^ = w,

ET À TEMPÉRATURE INITIALE UNIFORME. l5

Et, d^ailleurs, quand t y croît de zéro à /, tu y varie avec continuité de oo à ah^t -\ —• En résumé, il viendra, vu la signifi-

layt

cation (23) de I,

I * ahfl-h~ I

Il suffira de multiplier par e"'^'', pour avoir les températures cherchées u (*), Afin d'abréger Fécriture, appelons ^(<»>) la fonction

O Possibilité d'une réduction analogue, dans le cas de températures initiales non uniformes. — Je m'aperçois qu'on arrive plus simplement à l'équation diiTérentielle (34), étendue même à l'hypothèse de températures initiales /(j:) quelconques, en partant de l'équation (10) (p. 8). Celle-ci, différentiée en x, donne

d^u __ ,du ,d<p

dx^ ~~ dx dx

et, par l'élimination de -,- au moyen de (10),

d^ii ,, ,,/ i d^\

Portons cette valeur de la dérivée seconde de u en or dans l'équation

du ^cPu dit ~^ dp

da problème; et nous aurons l'équation différentielle cherchée :

Elle comprend bien (24); car, lorsque /(a:) = Wj, il faut, dans l'intégrale (8) de Laplace (p. 7), on u a été changé en 9, poser

F(j?-i- aaw V^i)= Mo poar w > -»

F(j?4- aao) v/ï) = — M« pour w < rz-

2ayt

et, alors, si l'on remplace les éléments de l'intégrale définie où u> est négatif par

l6 REFROIDISSEMENT D*UN MUR A FACE RAYONNANTE; FORMULE DE FOURIER

dont une Table, calculée par Kramp (dans son Mémoire Sur les réfractions atmosphériques)^ donne les valeurs numériques, et

ceux de champ égal où (o est positif, il vient bien

(?) [quand /(or) «.] 9=^ /'"'^Vco» rfu> = Î^M.

Traitons Téquation (a) comme Ta été (a^)» c'est-à-dire, au fond, en multipliant (a) par le facteur d^intégrabilité €—^*hUdt et intégrant par rapport à t,

toujours à partir de l'époque i = o, où u=f{x) et où 9 =/(a?)— ^/'(j:) ;

puis multiplions les résultats par e'''^'^, après avoir effectué la même intégration par parties que sur (?5). Nous aurons

(y) w ^ <p-h i/'(x)e''«^''~c«'A'' f'e-^'hula'^hp. -h ^)dt.

Mais la réduction de l'intégrale défînie par laquelle se termine le second membre, à la forme de celle qui exprime 9, comme il arrive dans (27), est propre au cas où /{£) = const.; car ce cas est le seul où cp dépende de la variable unique et où s'applique le raisonnement fait après la formule (26).

Pour X très petit, c'est-à-dire sous la couche superficielle, où 9 devient négligeable dès que t a des valeurs sensibles, l'équation (a) se simplifie par la ré-

duction de son second membre au terme -a^h-r^y qui, dans le cas de la for-

dx ^

mule (p), y devient J rji ^^ l'équation (a) ainsi réduite, multipliée

encore par «—«''''' c?i, puis intégrée à partir de l'époque t ~ o, où u—f{x), donne alors immédiatement

„ e-a^hH /( -p ) = r à'hp- e-ntkv dt,

c'est-à-dire

(S) (pour or = 0) M^e««A»« /(a:)- r ^c-a«A'/a'Ac/J.

Dans le cas oh f{x)— u^, 9 admettant l'expression (?), il vient tout de suite, si l'on pose aA y/^ = to sous le signe / , la formule utilisée par Fourier et qui

porte ci-après le n» 31, savoir