POUR LES TEMPÉRATURES SUCCESSIVES DE SA SURFACE. I

dont la valeur initiale ^{o) est l'intégrale de Poisson — (*). On

voit que la formule, sous forme finie, des températures successives u du mur sera

(29) u = ^ U(o) - ^ (-^) -f- e'^''^''-^-^ (ah/i-^ -^)\

Des diflTérentiations immédiates permettent de constater que cette expression de u satisfait bien : i" à Téquation indéfinie

— z=z a^ - — ; 2° à la condition ^— = hu (pour x = o), exprimant

le rayonnement à la surface. Et l'on reconnaît, d'ailleurs, directement qu'elle vérifie, 3" la relation d'état initial, u ^=^ Uq (pour I = o), 4*^ enfin, la condition u = Uq aux grandes profondeurs Xy où la fonction ^(w) est réductible à son expression asymplo-

tique donnée ci-après. Retenons seulement, de ces diflTérentiations et vérifications, la formule de la dérivée première de u en X :

^^^Jtuo ^.„v.Ar ^ (ah s/'t -i- -^^ .

167. Formule asymptotique des températures de la surface. — Appelons u! les températures successives du mur à la surface jr = o. Leur expression, obtenue en premier lieu par Fourier (2) au moyen de Téquation différentielle à laquelle se réduit alors (20), sera, d'après (29),

(3i) m'= -j^e^^'^Ko)), où iii = ah)/J.

Elle est proportionnelle à la température initiale Uq et à une fonction assez simple de la variable to = ah^t.

Quand la variable w devient un peu grande, cette fonction tend rapidement vers une forme asymplotique extrêmement réduite.

(') Voir, par exemple, dans mes Leçons d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique {Calcul intégral, Compléments ^ p. i56* à i58* ), les méthodes pour calculer cette fonction ^ (u>).

(*) Œuvres de Fourier, t. Il, p. 277, formule (5).

R — lî 1

l8 HYPOTHÈSES ET CALCULS DE FOURIER

Vu (28), on a, en eflet, identlquemenl, en remplaçant, pour plus de clarté, co par a sous le signe / ,

Oi", dès que (o est un peu grand, le facteur — » sous le signe / »

ne décroît que dans une proportion insignifiante, à partir de — »

pendant que l'exponentielle e~*' éprouve la presque totalité de son décroissement vers zéro. Car, si Ton fait grandir a de ac, c'est-àdire d'une petite fraction e de sa valeur, et, par suite, décroître — *

devenu — -, r ou, sensiblement, » de la même fraction e de

sa valeur, l'exponentielle e""** devient, à très peu près,

et se trouve réduite à la fraction e""**' de sa valeur première, fraction aussi faible que Ton voudra si a est assez grand, pour la valeur donnée de e. C'est dire que, dans l'intégrale définie (82), tous les éléments influents, quand a est un peu grand, sont voisins de la

limite inférieure, ou peuvent être calculés en faisant égal à ; — le facteur — Or, alors, le second membre de (82) devient

L'expression asymptotique de la valeur (3i) de //', expression applicable dès que u' n'est plus qu'une faible partie de Uq^ sera donc

(33) u' = Y^. (pour t très grand).

ahyTzt

Ainsi, la température de la surface tend à devenir inversement proportionnelle à la racine carrée du temps écoulé depuis le début du refroidissement (').

( ') On remarquera que, de môme, la formule (3o; se simplifîe beaucoup pour