DISSIPATION, EN TOUS SENS, DE LA CHALEUR

second membre a^^.iU de l'équation indéfinie (8) S=«*^'«

ne se réduira plus à a^ -j-^y que w© sera zéro, enfin, que u devra

s'annuler pour y ou z infinis. Et Ton reconnaît encore de même que la fonclion auxiliaire o donnée par (4) (p. 5) vérifiera les équations du refroidissement du mur par contact, dans Thypothèse de températures initiales exprimées par la formule

172. Formation de la fonction auxiliaire o. ~ D'ailleurs, l'intégrale 11^ ou ç, qui convient à ce cas du contact, s'obtiendra, pour les mêmes raisons de symétrie, en associant encore au mur proposé son symétrique par rapport au plan a: ^= o, ou occupant la région des x négatifs, avec températures initiales Yi^x^y^z) égales et contraires à celles qui sont données aux points symétriques du mur effectif, de sorte que l'on ait

F(— a:,7,iï) = — F(a7,j, -5).

Alors on mettra l'état initial Y^x^y^z) de tout l'espace, grâce à la formule de Fourier étendue au cas de trois variables ('), sous fa forme

^Jff F(Ç''n>Ocos(aa7-aî)cos(p^ — pTQ)co5(Y5— YÏ)^?^^<^Ç-

et l'élément de cette intégrale sextuple à limites constantes deviendra solution simple de l'équation indéfinie (8) ci-dessus, pourvu qu'on y introduise le nouveau facteur e-'»'^a'+P"-»-T'''j de

(*) Voir, par exemple, mon Cours d* Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique, t. II, second fascicule, p. 175*.

DANS UN MUR RAYONIUNT, d'ÉPAISSEUR INDÉFINIE. in

\'aleur initiale i. L'expression de (p ainsi obtenue,

(p = ^ C Ç Ç e-«Va«-Hp«* Y')/ da d^ d^(

X cos(aa7 — a^) cos(p7 — Pïj)cos(ys — yÇ) d^dr^ t/J,

sera, par suite, sous une première forme, l'intégrale du problème, si elle s'annule pour x^ y ou z infinis. Or on reconi\aît qu'il en est bien ainsi, en y opérant, de la même manière qu'après la formule (7) (p. 7), les intégrations en a, p, y. Ces intégrations respectives porteront, en efiet, entre les limites zéro et l'infini, sur les expressions

e-(rt«na'cos[(a7-$)«]^a»

e -(«")?' cos [(7- 71 )?]c??,

e-('''')rcos[(5 — OtI^ïï

et donneront comme résultats

(j— El*

aa/i

aa /ï

Il viendra ainsi, au lieu de (8) (p. 7) et de la même manière,

X F(j?-4- 2a(i) y/*, JH- aato' /F, s -f- aaco' v^if) dta doi' dta" .

Or, la fonction F(:r,jK»'5) étant, par hypothèse, évanouissante, quand l'une quelconque de ses trois variables devient infinie, les seuls éléments de la dernière intégrale triple où le facteur F soit sensible, aux points (x, j-, z) très éloignés de l'origine, sont ceux qui correspondent à de très grandes valeurs absolues de tu, to' ou 0/ et, par suite, de l'exposant — (to--|- to'24- co"^), valeurs rendant

insensible l'autre facteur sous les signes / > c'est-à-dire l'exponentielle.

L'expression (8') de ç, généralisée de (7) (p. 6), convient dès

2S DISSIPATION, EN TOUS SENS, DE LÀ CHALEURy

lors. Imaginons qu'on y effectue seulement, de la manière qui vient d'être indiquée, les intégrations en p et y, et qu'on essaie ensuite d'y effectuer l'intégration relative non à a, mais à Ç. Celle-ci portera sur la différentielle F(Ç, tj, l^)cos(a^ — aÇ)rfi et donnera

cosax I F(5,Tfj,Ç)cosaÇû?5 -hsina^r / F(Ç,Tfj, Ç)sinaÇ û?Ç.

La première intégrale, où cosaÇ est fonction paire de Ç, sera nulle à cause du facteur F(Ç, tj, l^), impair en Ç, tandis que la

seconde, à fonction paire sous le signe / , réduira le résultat à cisinaa?/ F(Ç, t), Ç) sinaj ^.

Donc la formule de ç sera, au lieu de (9) (p. 8), vu d'ailleurs , Ç) est la différence /($, vi, 2J) — 1

que F{1 71, 0 est la différence /(Ç, "n, 0 - ^ ^^^^^f^^

On voit que, pour ^ :^ o, tous les éléments s'y annulent, à raison du facteur sinao:. Ainsi, la condition ç = o à la surface est bien satisfaite, comme les autres équations qui régissent cp.

173. Formule des températures du mur. — Passant donc, du refroidissement par contact, au refroidissement par rayonnement, où <f) n'est plus la température u, mais seulement notre fonction auxiliaire liée à ii par la relation (lo) (p. 8), nous obtiendrons encore pour u l'expression (i i) (même p. 8). Et, par suite, la formule développée de u se déduira de (8'') comme la formule (12) (p. 9) s'est déduite de (9), c'est-à-dire par la substitution sous les

signes / de (S''), au facteur sinoLX, d'une intégrale de la forme

DAP(S UN MUR RAYONNANT, d'ÉPAISSBUR INDÉFINIE. 29

OÙ ^ est, bien entendu, une variable auxiliaire distincte de celle de même nom dans (5'^). On a trouvé (p. lo), comme valeur de cette intégrale,

, a cosoLX -+- h sinaâ?

Il viendra donc, au lieu de (i3) (même p. lo),

EnGn, nous éliminerons la dérivée en ^ de la fonction arbitraire /(i, ri, l^), en commençant encore par l'intégration relative à Ç le calcul de la partie de la formule qui contient cette dérivée ; et le même raisonnement(p.io) qui nous a conduits de la formule (i 3) à la formule (i6), donnera, comme intégrale définitive du problème posé :

<r— Yn«-f-(s— Çi*

^ ^-n^oLU («cos«^ -^ h sxxxfix) (g cosgg -H h sina^ ) .

La dernière forme se déduit de la précédente en prenant, au lieu de r\ et ij, les nouvelles variables d'intégration

,,=.!L-l et 0.'=?-^

a/7 la^t

174. Antre forme de rintégnrale obtenue. — Constatons que toutes les équations du problème sont vérifiées par celte expression de u. A cet effet, appelons, pour abréger, Y(^,jk — ^)>

3o DISSIPATION, EN TOUS SENS, DE LA CHALEUR,

Z(^, z — JJ) les deux fondions de deux variables

la^Tzt '2 a v/ir t

qui, nulles pour^ ou z infinis, donnent en outre

dY ,rf»Y dZ dtZ

(^^ -dt'"'"W'=''^ ^~«*^=^'

et appelons aussi X(f,ar,7|,Ç) la formule (16) de w, obtenue (p. 1 1) pour le cas oùy, 5 ne figuraient pas dans w, mais prise maintenant avec une fonction /(.r) qui contienne deux paramètres y|, ^ et qui, en outre, s*annule pour ^ = 00. Nous poserons donc

et cette fonction X, indépendante de^ et :;, vérifiera les relations

-di-'' dx^^""^

(pour iT = o) -1 AX = o,

(pour a? = 00) X = o, (pour ^ = 0) X =f{x. 7),^).

Alors la formule (8'") deviendra

[ =- I I e-^*-'^"X{tyXfy-\-2a(s}^iyZ-^2aoi'\rt)dtà>diù'.

Or, dans le second membre, la fonction sous le signe / est le

produit des trois facteurs X, Y, Z qui, dépendant séparément de / et x^ de t ely, de t et ^, donnent les trois équations

dX ^d^X dY ^d^Y d7. d^Z

Multiplions celles-ci respectivement par YZ, ZX, XY, puis

DANS UN MUR RAYONNANT, D*ÉPAISSBUR INDÉFINIE. Of

ajoutons-les. Il viendra

rf(XYZ)

dt

— aïA,(XYZ) = o.

C'est dire que chaque élément du second membre de (e"') vérifie l'équation indéfinie du problème. De plus, cet élément s'annule pour x^y ou z infinis dans le mur, à raison du facteur correspondant X, Y ou Z alors nul lui-même; et, d'autre pari,

l'expression ^ — huj déduite encore du second membre, a la même forme que lui, sauf la substitution à X, sous les signes / / ,

du facteur analogue ^ AX, qui s'annule à la surface ;r = o.

Ainsi, les équations, tant indéfinie que relatives aux limites de:r,^, 2, sont satisfaites. Enfin, pour « = o, le troisième membre de (e"') devient immédiatement X(o, x^ y^ 5), c'est-à-dire f{x^y^ z)\ et la condition d'élat initial se trouve également vérifiée.

17o. Solution simple naturelle du problème. — La température effective u se compose, d'après le second membre de(e^''), des valeurs ^partielles qu'elle aurait, si l'on n'attribuait à la température initiale /(a:, y, .s) ses valeurs données, qu'à l'intérieur d'un filet prismatique élémentaire normal aux x, de coordonnées r,, JJ suivant les y et les z, et de section normale dr^dC^^ cette température initiale étant supposée nulle partout hors du filet considéré, pour lequel on prendra, successivement, tous les filets analogues du mur. En effet, l'expression (e'') du facteur X(/, x, Ti, JJ), dans ces valeurs partielles, s'annule alors identiquement dès que 7^, !J sont les coordonnées, suivant les^ et les z^ de points extérieurs au filet correspondant.

Appelons r la distance sj{y — ^^1)^+ (2 — ÎJ)^ du point intérieur quelconque {x^y^ z) à ce filet élémentaire, et f(5) la quantité Cy(i, Tj, QrfTj <iJJ de chaleur que contenait initialement l'unité de longueur des divers tronçons de celui-ci, distingués en position les uns des autres par leur abscisse Ç; ou posons, par conséquent,