DISSIPATION, KN TOUS SENS, DE LA GHALBCB

Alors, vu les valeurs (e), (e'') de Y, Z et X, le second membre de (e'"), ainsi réduit à son élément provenant du filet considéré, sera

Telle est donc la solution simple /ia^£//*e//e du problème posé(').

Elle diffère de (i6)(p. 1 1) par la présence du facteur .— j— 7> évanouissant soit quand la distance r grandit, soit quand le temps (positif) t décroît vers zéro ou, encore, devient infini. La concentration de la chaleur le long de l'axe (j^^=7i, z=^^) parallèle aux x ne dure donc qu'un instant imperceptible. Une fois cet instant passé, la température u s'obtient, aux différentes distances r de Taxe et dans les diverses couches œ :^ const. du mur parallèles à sa face a? = o, en raisonnant comme si la quantité de chaleur initialement concentrée sur l'axe dans chaque couche s'j était trouvée disséminée uniformément sur l'unité d'aire, etindéfinîment répétée sur toutes les unités d'aire de la même couche, mais en multipliant

finalement la température ainsi calculée, par le facteur T~r~l' C'est

donc ce facteur qui représente l'effet de la dissipation dans les sens parallèles aux couches.

176. Résultats divers. — Quand, dans la formule (5"'), l'expression/($, 71, Ç) des températures initiales a la forme x(5)^(''*' ^)y l'expression (S''') de u est le produit d'une intégrale double, en a et i, par une autre, en tj et JJ, ou en (o et co' : le résultat se simplifie donc. C'est ce qui arrive, notamment, lorsque réchauffement initial a été uniforme, mais limité à un prisme ou cylindre de forme quelconque ayant ses génératrices parallèles aux x et comprises entre deux abscisses données a: = const., cas où l'on

( ') Voir^ dans la XLIX* Leçon de mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique (t. II, fascicule II, p. ôao*), la notion de solution simple naturelle pour les problèmes de Physique maihématique concernant les corps de dimensions infinies.

DANS VS Ml'R RAYONNANT, d'ÊPAISSEUR INOÉFINIR. 33

peut poser, à un facteur constant près, '^(^)=i, •|(tj,s)=^Ij pour les coordonnées Ç, r,, Ç des points intérieurs au prisme, et

'/(^) = ^> ^("n, Ç)~o o"» ^" moins, x(^) ^("^^ ^) -= ^' P^"^ celles des points extérieurs.

Si, en particulier^ un tel échaufTement initial uniforme s'est étendu de la face x = o jusqu'à une grande profondeur dans le mur, le calcul de l'intégrale en ^ et a se ramène, comme on a

vu (p. i5), à la fonction de Kramp / e'^^dio ou à l'intégrale

e'^^dbi. Et l'on reconnaît, sur le troisième membre de (5'"),

qu'il en est de même de l'intégrale en w et (o', quand le prisme initialement chauffé est rectangulaire ou que Tj, Ç n'ont à varier, dans ^(r^, î^), qu'entre des limites constantes, comme, par exemple, Ti = o et Tj =2 ^, Ç = o et Ç- - c. Alors, en effet, l'intégrale double dont il s'agit sera évidemment le produit des deux intégrales simples

Les intégrations envj, ^ se font encore exactement quand ^(j',^) a la forme e ^^* ^*^ y les températures primitives /(x,^, 5) étant

ainsi '/(a;)e ^* '^^ et s'évanouissant plus ou moins rapidement à mesure qu'on s'éloigne de l'axe des x. Mais il est alors plus simple d'observer que les formules (e) de Y, Z ne cessent pas de vériGer les équations (e'), lorsqu'on déplace arbitrairement, dans chacune, l'origine des temps, en y substituant t -h const. à t^ c'està-dire en ajoutant à t, par exemple, -—^ dans l'expression de Y et 7 — - dans l'expression de Z. Si l'on fait d'ailleurs r, ^i^ o, î^ ^-^ o pour

simplifier autant que possible les résultats, il vient comme solution particulière de l'équation

(?'; ^^-a«A,(YZ)=o,

le produit

B. — II. a