VINGT-QUATRIÈME LEÇON

SUITE : ÉTUDE, PAR LA MÊME MÉTHODE, DE l'ÉCHAUFFEMENT, SOIT

variable, soit permanent et inégal, du mur rayonnant d'épaisseur indéfinie.

177. Troisième exemple : échauffement, par rayonnement, du même mur d'épaisseur indéfinie. — Le troisième exemple que je donnerai, de la réduction du cas de rayonnement au cas de con-

> tact, est le problème de réchauflement de notre mur, à face indé-

finie j: = o et d'épaisseur indéfinie aussi, par une source extérieure, d'étendue également indéfinie, produisant devant toute cette face des températures u^ variables avec le temps, dont elles seront une fonction arbitraire connue Ue=/{t). Si l'on dégage ce problème de celui de refroidissement correspondant, qui

lj^ consisterait (*) à y calculer, à partir de l'état initial effectif et

donné, les températures successives u du même mur, dans l'hypothèse d'une température extérieure fixe w<.= o, les valeurs initiales de u restantes, ou propres à la question de V échauffe^ menti seront zéro, depuis x nul jusqu'à x :=^co.

Nous rendrons la solution aussi simple, aussi régulière ou uniforme qu'il est possible, en supposant que la fonction Ue=/{t) ait été nulle jusqu'à l'époque de cet état initial m = o, et en concevant, par suite, celui-ci comme ayant duré depuis t ^^ — oo jusqu'au moment où /(t) aura commencé à différer de zéro. Alors nous disposerons de tout le champ réel des variations de t, depuis t = — 00 jusqu'à t = -{-cc. Le problème aura pour équations ou

(') Voir le tome l, p. 198, 3oi, 209.

ÉCHAUFFBMENT, PAR RAYONNEMENT, d'uN MLR ÉPAIS. 87

conditions :

du ^d^u

<^9^ dl -" ^x«

(40) (pour a? = o) " -^ ^ = Wtf ^ /(O»

(40 (pour t ~ —co) 1/ = o, (pour .r — ») a = o.

178. Calcul de la fonction auxiliaire «p.* — Le cas simple d'échaiiffemeni par contact sera celui où, le coefficient h étant infini, l'équation (4o) se réduit à u ^^ Ue=/{t)pouT x=:o. Alors on a la solution (*)

En effet, la vérification de la relation ii z=f(^t) pour j; = o et des conditions (4 i) y étant immédiate, il suffit de constater qu'elle satisfait bien à l'équation indéfinie (Sg). Or une première différentiation de (4?) en x donne, si l'on remplace finalement a par

la nouvelle variable d'intégration ^ :r^ -,

Et, de ce résultat, une nouvelle différentiation en ^, après laquelle on reviendra à la primitive variable d'intégration a, déduit la formule

= v/lC/'('-.:â).-ï-

C'est bien l'expression de ~t- > telle que la donne une différentiation immédiate de (^2) par rapport à t.

(') Voir mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique {Calcul intégral^ Compléments , p. 4^9*, par exemple).

38 ÉCHAUFFEHENT D*UN MUR fiPAIS,

Cela posé, revenaDtaucasdu rayonnement, on remarquera que

la fonction o, c'est-à-dire u — t t- > vérifie évidemment, dans * h dx '

chacun de ses termes, les relations (89) el (4')' ^" 4"^ 1'^" ^ — ^ = a*-T-^> (pour f — — oo)«p=o, ( pour a? = 00) (p = o.

Et comme, de plus, d'après (4o)i elle satisfait à la quatrième condition qui achevait de déterminer u dans réchauffement par contact, savoir

(pour a7 = o)îp = Ue=f{t),

cette fonction auxiliaire cp recevra exactement l'expression (4^) qu'avait u dans le cas du contact.

179. Formule des températures du mur chauffé. — Donc, appelant, plus explicitement, «p(^, t) notre fonction auxiliaire et,

d'ailleurs, remplaçant sous le signe / de (4?) a par toy/2, pour

mettre les présentes notations en harmonie avec celles de notre premier problème, nous aurons

Enfin, l'équation différentielle qui relie u k (f est encore (10) (p. 8), comme dans la question du refroidissement; et la condition relative à j? = 00 , propre à déterminer la constante arbitraire introduite par son intégration, est w r^ o, cas particulier de celle, u = Wo, que nous avions dans cette question.

Comme, d'autre part, © se réduit encore à u pour x infini, l'intégrale continuera à être (11); et les raisonnements donnés après (11) montreront que l'équation indéfinie, ainsi que les trois conditions spéciales à^ = oo, àj: = oetà^= — oc, sont vérifiées par cette intégrale. Il viendra donc, vu l'expression actuelle (43)

180. Application au problème du refroidissement de la croûte terrestre. — Celte formule (44)? beaucoup plus simple que celle (16) du refroidissement (p. 1 1), conduit très vite aux résultats de

PAB BAYONNBMENT SCR SA FAGB PLA!H£. 3g

Fourîer (3i) à (35), ou aux nôtres ci-dessus (formule 29, p. 17), concernant le refroidissement d'un mur ou de la croûte terrestre à partir d'une température uniforme Uq. Il suffit d'admettre qu'après s'être trouve primitivement à zéro comme le mur, l'espace extérieur ait été, à une époque fort ancienne t^ — T, porté de la température We= o à la température Uc= Uq^ et qu'il ait conservé cette température Uq jusqu'à l'époque /=:o, c'est-à-dire très longtemps, assez pour l'avoir communiquée au mur jusqu'à de grandes profondeurs x. La source extérieure de chaleur s'étant, ensuite, rapidement éteinte, la température correspondante Misera devenue nulle à l'instant / =: o; et le rayonnement du mur, aux époques / positives, aura dès lors amené le refroidissement qu'étudie Fourier. Ainsi, dans (44)? où l'on peut assimiler co à une abscisse et s à une ordonnée, le champ d'intégration ne comprendra pas tout l'angle des coordonnées positives. La fonction f{t) ayant ses valeurs nulles en dehors de l'intervalle des limites r =3 — T, / = 0,

le facteury t ^ ~^ ^ annulera tous les éléments autres que

ceux où ;r -h s excédera 2a<ù\/t et sera inférieur à laiù^J t t- ï, les seuls où la variable t — , ^\ soit comprise entre — T ei zéro. Pour chaque valeur (positive) de co, !^ n'aura donc à varier que de — x -\- 2a(s)\/t à — x -\- iaiù\J t + T, en excluant même celles d'entre ces valeurs de Ç qui seraient négatives (ce qu'elles

seront toutes pour co< > et ce que sera une partie

d'enlre elles pour co < -V D'ailleurs, dans le champ ainsi

réduit et sauf, le long de ses limites, sur une étroite bande négligeable, le même facteur/ recevra la valeur constante Wo« La formule (44) deviendra donc

^^2Wo ^ . e-^'dui I he-f^^dl

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Uî)

iaJÎ J

4o ÉCHAUFFEMRNT ET REFROIDISSEMENT DE LÀ CROUTE TERRESTRE.

Comme T est très grand, les limites supérieures des intégrations en t^ reviennent à oo , pour les valeurs finies de x^ et la première limite inférieure des intégrations relatives à w équivaut à zéro, dans les mêmes conditions de x fini. D'ailleurs, Tintégralion indéfinie en X^ donnant — e~^^, on a évidemment