L . laft J

Remplaçons, sous le dernier signe If w par la nouvelle variable

d'intégration co'= ah\jt + w, ce qui ajoutera simplement ahyjt à la limite inférieure; et, en effaçant raccenl de co', il viendra

c'est-à-dire, précisément, notre formule (29) (p. 17).

La question du refroidissement de la croûte terrestre, à partir d'un état initial uniforme jusqu'à de grandes profondeurs, apparaît ici, comme on voit, beaucoup plus simple que dans la XXIP Leçon. Il y a donc lieu de se demander d'où vient sa complication lorsqu'on la rattache, comme nous avons fait d'abord suivant l'exemple de Fourier, au problème général du refroidissement d'un mur, à partir d'un élat initial arbitrairement variable avec la profondeurs des couches de la surface. Cette complication est due sans doute, alors, à ce que la formule de Fourier, dont l'emploi semble indispensable à la formation de l'intégrale générale du problème, introduit, dans les élémenls de cette intégrale générale^ des sinus ou cosinus d'arcs réels et, par suite, des ondulations, entièrement étrangères à Voilure qu'affecte l'intégrale effective du cas choisi, 011 l'état initial est uni/orme. D'où Iîi nécessité de réductions spéciales, pour éliminer des éléments de n ces ondulations arïificielles (').

(') La preuve que ces ondulations artifîciclles sont la vraie cause de la com-

ÉCflAUFFCMENT INÉGAL d'uN MUR ÉPAIS. ^I

181 . Quatrième exemple: échauffement permanent, mais inégal, du mur indéfini, par le rayonnement de sources extérieures constantes. -- Nos deux derniers exemples se rapporteront à des ôtats permanents.

Le plus simple sera encore relatif à notre mur, d'épaisseur ou profondeur indéfinie, sous sa face ^ = o illimitée en longueur et largeur. Mais la température extérieure lie y sera supposée très variable avec les coordonnées y^ z parallèles à cette face; et, par suite, la température interne u dépendra de y, z et œ. Il s'agira, par exemple, d'évaluer les températures partielles u acquises, à la longue, par la croûte terrestre, sous l'action solaire considérée dans sa partie permanente, en admettant que cette action soit modifiée (comme elle paraît l'être en effet souvent) par diverses conditions atmosphériques ou hygrométriques (*), au point de présenter de sensibles inégalités locales.

Imaginons d'abord qu'il existe, devant ou sur la face j: r=^ o, un nombre limité de sources extérieures rayonnantes, produisant, au-dessus des points (o, j^, z) du sol ou du mur, des températures ite=/{y^ z) arbitrairement données, mais, cependant, nulles en dehors d'une région assignée o- du plan des yz^ vers le milieu de laquelle nous aurons pris l'origine des coordonnées. Les points du sol ou du mur infiniment éloignés de cette région se trouveront donc à la température uniforme choisie pour zéro; et les équations du problème seront :

<47) (poura7>o) AjM — o,

(48) (pour 07 = 0) """ ^ ^;g: = "^-/0% -)»

(49) (pour v/x'-+-^*-h 5* infini) m — o,

la fonction arbi traire /(^, >3) étant d'ailleurs, par hypothèse, nulle hors de la région limitée (X du plan des j^:;.

plicatioD, c'est que celle-ci disparaît et qu'on obtient immédiatement l'équation \oulue (29), en portant dans l'équation {y) de la page 16 une expression de 9 débarrassée de cosinus ou de sinus, comme est l'expression (^) de la même page.

La question de réchauffement permanent d'une plaque mince, à partir d'un centre, donnera lieu, plus loin, à une réflexion assez analogue (n** ?34).

(') On peut compter parmi ces dernières celles où se trouve le lit d'un cours d'eau ou d'un lac, comparativement aux régions du sol voisines.