ÉCHAUFFEMBNT PERMANENT, MAIS INÉGAL, D*UN MLR ÉPAIS

182. Calcul de la fonction auxiliaire ©. — Le cas de l'échauffement permanent par coniact sérail celui où, h étant infini, u se confondrait, à la surface, avec Ue- L'idée vient alors immédiatement à l'esprit de satisfaire aux relations (47) et (49) au moyen du potentiel newlonien d'une mince couche matérielle m, que Ton se représenterait étalée sur la région o- de la surface. En appelant c(6, c) la densité, par unité d'aire, de cette couche fictive, au point de o- qui a les coordonnées .r = o, jk = ^i z =^ c, et r = \lx^ + (jK — b)'^ + (^ — ^)^ ^^ distance du point intérieur quelconque {x, y^ z) du mur au point (o, 6, c) de la superficie, ou à l'élément dm de la couche fictive qui couvre l'élément rfo" de surface comprenant ce même point (o, 6, c), le potentiel dont il s'agit, à paramètre Aj nul hors de la couche ou, en particulier, dans tout l'intérieur du mur, sera

/dm rp(b,c)da __ r p(b,c)d<j

Et il est évident, la masse / dm se trouvant localisée sur la région G-, qu'il satisfera aussi à la condition (49)*

Il ne lui resterait donc, pour convenir au problème dans le cas du contact, qu'à vérifier la condition (48) prise avec h infini, ou à égaler /{y, z) à la limite x = o. Or, pour x = o, le potentiel n'a pas des rapports simples avec la fonction p qui sert à le former.

Mais on sait (') que sa dérivée suivant la normale à la couche,

savoir, ICI, sa dérivée en ^, -r- \ — -> en a, au contraire, et se

réduit à — a^^pCy? 2) quand l'abscisse positive x tend vers zéro. De plus, cette dérivée en x du potentiel vérifie évidemment, tout comme le potentiel lui-même, l'équation linéaire (47)7 à coefficients constants, et la condition (49)- Si donc on essaye de l'adopter pour w, sa valeur devenant — 27rp(^, z) sur la face ;r = o, cette dérivée transformera l'équation (49)» prise avec h infini, en celle-ci,

— 27ip(7, 3)^/(7,5),

(•) Voir^ par exemple, mon Cours d^ Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique {Calcul intégral , Compléments, p. 224*).