ÉCHAUFFEMENT PERMANENT, PAR CONTACT
fonction inconnue cherchée, bien continue dans tout le corps, et
iJ la fonction particulière -? continue également dans le même
espace, à Texception de rinlérieur d'une sphère <t'=4^ê^ décrite, d'un rayon infiniment petit e, autour de l'origine commune (X, Y, Z) des distances r, on considérerait ces fonctions w. u! dans l'espace tîj où elles sont bien continues toutes les deux, savoir, l'espace compris entre la surface o- et la petite sphère c', sur laquelle aboutiraient des normales dn! dirigées en sens contraire des rayons r = e correspondants.
186. Solution du problème pour un corps quelconque, dans l'hypothèse où l'on aurait certaines données surabondantes, relatives à sa surface. — Les deux fonctions a, v! ayant leurs paramètres Aa nuls, on peut leur appliquer une formule bien connue, due à Green('). On aura alors, si l'on distingue les deux par-
( ') Formule de Green. — Cette formule célèbre, applicable à deux fonctions quelconques w, w' vérifiant les équations AjM -- o, Ajw'^ o, est
, du du \ ,
u -, u -7— ) aa
dn dn J
où 9 désigne la surface complète limitant tout espace o dans lequel ces fonctions a, «' sont continues, et où dn représente la normale élémentaire aboutissant, de rintérieur de l'espace o, à l'élément quelconque d<s de sa limite. On l'obtient en observant que les deux équations
AjM = o, A, m'— o, multipliées respectivement par u' et par — i/, puis ajoutées, donnent la relation
d { ,du du'\ , d/ , du du'\ d l , du du'\
dx \ dx dx ) ^ dy\ dy dy ) dz \ dz dz J ~ '
Or celle-ci, multipliée par drD et intégrée dans l'étendue cj, a chacun de ses trois termes immédiatement intégrable une fois et convertible, par une méthode qui nous est familière (t. I, p. 168), en une intégrale de surface, prise sur toute la limite 9 du champ a. Si cos(a, p, v) sont les trois cosinus directeurs des normales respectives dn^ il vient ainsi
rr/ ,du du'\ ( du du'\
/ , du du'\ 1 ,
Or les deux expressions
, cosa ^ - — , — -- cos 3 H —' - cos y
dx dy ^ dz '
d'une sphère athbrmane, homogène et isotrope. 49
lies <T, (t' de la surface limitant Tespace ts et aussi, par suite, les normales respectives rfn, dn' à ces parties,
c'est-à-dire, vu que w'= - et, aussi, que les normales dn' sont les
prolongements, changés de signe, des rayons r=:e aboutissant à la petite surface «r',
Or ^ * dérivée de u le long du prolongement dr d'un rayon
inGnîment petit e de la sphère (t', se confond sensiblement avec la dérivée finie de u au centre (X, Y, Z) le long du même rayon; el,
comme / d<j^= ^Tze^^ l'intégrale f - zr ^^ ^^^ ^^^^ sensiblement
le produit du facteur inGniment petit 4^^ p^i* 1^ moyenne des
valeurs de -v- en (X, Y, Z), suivant toutes les droites qui en
émanent, moyenne nulle à cause des valeurs égales et contraires de cette dérivée dans les sens opposés. D'autre part, la dérivée
de - en r est -y c'est-à-dire r à la surface </; et la va-
leur moyenne de u sur celle-ci peut évidemment être confondue avec la valeur, ^/(X, Y, Z), de u au centre. Ainsi l'intégrale
— J U ^ûfo'peut s'écrire simplement 47î"(X,Y, Z); et la formule (56), divisée par 4^? équivaut à
ne sont autre chose que ' — -, et la formule de Green se trouve bien dé-
montrée.
Nous aurons à l'employer encore dans la Note finale I, où elle porte le n*> 31 : les fonctions analogues à u et m' s'y appellent p et p'.
ÔO ÉCHAUFFBMBNT PERMANENT, PAR CONTACT,
Elle exprime bien l'inconnue w, au point (X, Y, Z), en fonction des valeurs données ou cen3ées données de u et de ^ à la surface du corps.
187. Solution effective pour la sphère. — Mais la solution, dans le cas présent où le corps est une sphère, peut être poussée plus loin, savoir, jusqu'à Télimination des valeurs réellement
inconnues de -3- > en associant au point intérieur (X, Y, Z) son
conjugué par inversion extérieur (X', Y', Z'), c'est-à-dire le point tel, sur le prolongement du rayon (de la sphère) passant par (X, Y, Z), que les distances respectives D et D' de ces deux points (X, Y, Z) et (X', Y', Z') au centre aient pour moyenne proportionnelle le rayon même, R, de la sphère.
Soit, en effet, r' la distance du point quelconque (^, y y z) à ce
conjugué (X', Y', Z'). L'inverse - sera une fonction de (x, y^ z)
continue dans toule la sphère, à laquelle le centre des distances z*' se trouve extérieur; et, si c'est maintenant cet inverse qu'on appelle u\ la relation (55), où l'on prendra comme élenduc nr toute la capacité de la sphère, se réduira pour lui à
donnant, par conséquent, à côté de la formule précédente (07),
Or, quel que soit l'élément considéré r/<T de la sphère, ses deux distances respectives /*, r' aux deux points conjugués (X, Y, Z), (X', Y', Z') sont entre elles comme la distance D de (X, Y, Z) au centre est au rayon R ( * ), et l'on a
( ' ) Prenons, en effet, le centre de la sphère pour origine. Les coordonnées de
D*UNE SPBÈRE ATHERMA5E, HOMOOftNB £T ISOTROPE. 5l
R de sorte que Téquation (58), multipliée par g» devient
Jn'r dn " DJ^ " dn '
(59) /-:7;:^-=n / ^ttt^^
Elle permet d'éliminer du second membre de (67) la partie où
figure la dérivée inconnue -t-- Et il vient, comme expression de a
au point quelconque (X, Y, Z) de l'espace intérieur à la sphère o-, en fonction des valeurs de u sur cette sphère,
"(^'"^^^^^Tsy.û^-y"^^-
188. Forme définitive de cette solution. — Effectuons, au second membre de (60), le calcul de la parenthèse. Et d'abord,
celle-ci devient, en observant finalement que Tîi == "dj 7» ^^^ '*
sphère,
D 2r'* dn ~ 2/» rf/i V " R* '^ /
i^ dr ^ ± dr^ J d,r* r* dn D r' dn ~ ir^ dn
Or, si l'on adopte le centre de la sphère comme origine des coordonnées, on aura, pour carrés des deux distances /*, 1^ de tout
rélément d9 vérifieront la relation tandis que l'on aura et aussi :
V Dl p2 I>2
r2=(X-a)'-4-(Y-6)»+(Z-c)^=D2-i-R2-2(aX-H6Y^cZ); r-=D'=»-+-R^— 2(aX'H-6r4-cZ')
^D'^-+-R*-2~(aX-4-6Y-4-cZ) = ^[R2-hD^~2(aX-h6Y-hcZ)] = g!/'^
Il en résulte bien
r = ^r, ou ~=g et -, - g 7.
52 ÊGHAUFFBllEIfT PERMANENT, PAR CONTACT,
point (x, j', z) aux deux points respectifs (X, Y, Z), (X', Y', Z'), et vu que (X', Y', Z', 0')= g(X, Y, Z, D),
= ^2+^1-4- ^î-H D'«— 2 gl (XiF H- Yj 4- Z-s);
d'où i1 résulte, en observant que x^-^y^-^z* est le carré delà distance, que j'appellerai R', du point mobile (x, y, z) au centre,
Cette expression ne varie, aux divers points (x, j^, z) de chaque
petite normale dn, qu'à raison de son facteur R'^ — R^, qui, le
long de rf/i, croît de
2R'4R'=aR^/i.
Sa dérivée suivant rf/i est donc a — ^ — • Et la formule (6o) devient, en définitive,
/A X .V V y^ R»-D2 rud7 R«-.X«-Y«-Zî f udif
où, sous le signe / > r désigne les distances respectives du point
intérieur quelconque (X, Y, Z), pour lequel on veut connaître la fonction a, aux divers éléments d(j de la surface, et u les valeurs données de la fonction sur ces éléments da.
Telle est, pour le cas de réchauffement de la sphère par contact, la solution due en premier lieu à Poisson, mais dont la démonstration n'a été portée qu'après lui au degré de simplicité ci-dessus (*).
189. Température moyenne des couches sphôriques concentriques. — Au centre, où D = o et où rr^ R, la température, que
(') Voir y par exemple, à ce sujet, le Cours d'Analyse infinitésimale de M. Picard, l. 1", p. i43 à ihi.
d'une sphère athermanb, homogène et isotrope. 53
j'appellerai Uey sera doDC
c'est-à-dire, comme Pavait remarqué Poisson, la moyenne arithmétique des valeurs données de u sur toute la surface. Et le raisonnement s'applique évidemment, où qu'on prenne le centie et la sphère, dans la région où u existe. Ainsi, quand une fonction, continue à l'intérieur d'un espace donné, y a son paramètre A2 partout nul, cette fonction est, en chaque point, la moyenne de ses valeurs sur toute la surface de la sphère, s^^tzo^^ d'un rayon quelconque p, décrite dans l'espace considéré autour de ce point comme centre.
On l'aurait directement reconnu, en observant que la permanence supposée des températures exige l'égalité à zéro du flux
total, / K-7-rf5, entrant par unité de temps dans la sphère. On a
donc / -^ ds ~o ou, encore, / -^ -- =r o. Or, si l'on difl^érentie J, dp ' J^ d^ s
/j u —y de //, considérée ainsi sur des
sphères concentriques de plus en plus grandes, la décomposition de ces sphères en éléments ds pourra se faire par éléments proportionnels à p' ou à 5, et se correspondant respectivement sur toutes ces sphères, le long des mêmes rayons p prolongés de plus en plus.
Alors, dans chaque élément u — de la valeur moyenne, le facteur — sera invariable d'une sphère àl'aulre; et, seul, le facteur u y variera avec p. On aura donc -. d r ds rdu ds^
et l'annulation du flux total entré dans chaque sphère équivaudra à celle de la dérivée en p de la valeur moyenne de u sur ces sphères. Ainsi cette valeur moyenne doit bien être constante, et, par suite, se confondre avec la valeur de u au centre.
190. Retour au cas d'un mur épais, c'est-à-dire d'un solide limité par une face plane et indéfini dans tous les autres sens. — Supposons enfin que noire sphère devienne, par l'hypothèse
54 ÉCBAUFFEBIBNT PERMANENT d'uNE SPHÈRE ET D*UN MUR ÉPAIS.
R = oc, le massif indéfini, à face plane, de notre exemple précédent (p. 4i)* ^^ distance minima R — D du point intérieur considéré à la surface sera V abscisse Ji nie que nous appelions x;
et le facteur — ^ — du second membre de (6i) deviendra
i(.+ g)(R D)=R-D OU œ. La formule (6i) se réduira donc bien à ,
c'est-à-dire à la formule (5o) (p. 43), qui a été ainsi découverte par Poisson.
vingt-sixi|:me leçon.
