D ONE SPHÈRE ATHBRMAME, HOMOGÈNE ET ISOTROPE

la formule (67)13 donne sous la forme

d\fU d^fU dUiu , , ,>x A

revenanl à l'équation, simplement difTérenlielle entre A2;/ et t, V— ^- — h(aH- AR)A,a =0. ^

Or celle-ci, multipliée par t*"*"^^, devient

Elle signifie donc que le produit t'"*"^"^ Aa^ a sa dérivée en i nulle, c'est-à-dire même valeur le long d'un rayon quelconque qu'au centre. Mais, au centre, le paramètre A2 de l'expression bien continue (74) de u n'est pas infini; et ce produit s'y annule. Donc il vient bien A3e^==o comme équation indéfinie vérifiée par (74).

Portons enfin, dans cette formule (74) ainsi démontrée, l'expression (68) de <p (p. 56), devenue, avant le remplacement de t

panji.,

R« — v« Çuedrs 47rK X ^^

et où r, troisième côté d'un triangle dont les deux autres côtés sont t et R, aura pour carré R^-|-t^ — sRtcosO, 0 désignant les angles que fait le rayon vecteur, t, du point (^x^y^z) considéré, avec les divers rayons R de la sphère, qui aboutissent aux éléments respectifs d^ de la surface. On trouve ainsi la formule définitive,

Ugd^

fjicos6-hv«|Ji*]*

Elle est due à Poisson, qui Ta obtenue sous une forme et surtout d'une manière très différentes (*).

Au centre, ou pourt = o, elle redonne bien, immédiatement,

( • ) Théorie mathématique de la chaleur, p. 388.

6o ÉCHAUFFBMENT PERMANENT, PAR RAYONNEMENT,

194. Cas extrêmes d'une conductibilité extérieure ou infinie, ou nulle* — Si l'on fait h très grand, le facteur [jl*^""* sera infiniment petit et annihilera les éléments de w, sauf pour les valeurs de a très voisines de l'unité. 11 y aura lieu de poser alors

|ji = 1 — Y^y de manière que toutes les valeurs modérées de v

fassent u voisin de i et que, par suite, les très grandes valeurs de v n'aient pas d'influence appréciable. L'on aura

ri ijl''^~* ou, sensiblement (|jl difl'érant peu de i), ul**^, deviendia

La formule (75) sera donc, à la limite h =^ ce et en ne conservant, comme il a clé dit, que les valeurs de ix voisines de Tunité,

il = --— ^ / e-v rfv /

^ «/o J^(Rî-2Rtcos6H-v«)

c'est-à-dire (6 1). Et il le fallait bien; car une conductibilité exté* rieure infinie implique l'échaufTement par contact.

Maintenant supposons, au contraire, h infiniment petit, mais, en même temps, Ue très grand, de manière que le produit huesoh une fonction arbitraire finie, que nous appellerons U ou, plus explicitement, U {a. 6, c). Toutefois, pour que la température interne u puisse être finie, il faudra que sa valeur au centre,

/ Ue — f le soit et que, par suite, / U — s'annule, à la limite

h = o. Nous admettrons donc que la fonction donnée U ait (une fois la limite atteinte), sa valeur moyenne nulle, condition qui permettra, comme on voit, d'attribuer une valeur finie quelconque à la température iic du cenlre.

Alors les valeurs h(ue — u) de la dérivée j- à la surface deviendront limite (Aw<.), c'est-à-dire la fonction U(a, 6, c) considérée dans ses valeurs limites; et le problème reviendra à se donner,

d'une sphère ATHERMANEy HOMOGÈNE ET ISOTROPE. 6l

sur loiile la surface a* de la sphère, celle dérivée ^ » ou le flux

corrélalîf entrant de chaleur K-r- par unités de temps et d'aire,

flux dont les valeurs ou moyenne, ou totale, sont bien nulles à l'état permanent.

La formule (70), où il faudra poser Ue=j-9 pourra s'écrire

identiquement, en ajoutant à l'intégrale / Texpression / ^ et retranchant l'expression équivalente / -r-^» valeur de cette intégrale / pour |JL = o,

.j./V.,,,..iM r ^Ji ^y->^|.

Actuellement, faisons tendre h vers zéro et U vers son expression finale. Le premier terme du second membre se dédouble, par la décomposition de la parenthèse en R^ et en — t^u.^. Or sa seconde partie ne donne plus rien quand h est nul, tandis que

la première donne, quel que soit h, 1 ite — > ou Uc Quant au

dernier terme du second membre, la quantité entre crochets y devenant, en général, de l'ordre de petitesse de (jl pour [x =: o, l'annulation de l'exposant AR du facteur (jl*"* n'y introduit pas

d'élément infini; et comme, d'ailleurs, / Urf<T=o à la limite, la formule (77) devient, en définitive,

ni) u=u.^±f\^^-.Wir- — -"^ ,•

^* "^0 '^y^CR»— •2Rtfjicose4-vV*)*

195. Solution directe, pour le cas où les flux de chaleur à la surface sont donnés. — C'est bien le résultat qu'on obtient direclemcDl, quand on prend pour fonction auxiliaire non plus o, que définit la relation (66) devenue illusoire par Thypothèse k = o,

62 ÉGHAUFFBMENT PERMANBNTy PAR RAY0NNBM£1«(T,

mais l'expression, revenant à Acp et que j'appellerai 4>,

^ \ I du du du\ t du

(79) *=R[''di^^dp-^'T,)=RT.'

Celle-ci a évidemment, d'après (66) et (67), son paramètre diffërentielAa^nul; et elle est déplus, sur toute la surface a-, identique

à la fonction -f ou -j-y dont on connaît par hypothèse, sur cette

surface, les valeurs U(a, 6, c).

Ainsi, la nouvelle fonction auxiliaire ^ satisfait aux équations qui détermineraient la température w, dans un échauflfement par contact où l'expression de £/ à la surface serait U(a, 6, c). La formule (61) donnera donc

La relation (79)) qui relie u à 0, devient maintenant entre u et i l'équation différentielle

(81) t-T- = R*(ar,^, z) = R4>(vcosa, v cosp, t cosy).

Multipliée par ~ et intégrée à partir de t= o où u s'appelle Uc^ celle-ci donne

f =:a<r-hR/ 4>(t|Jicosa, ificosp, t|icosY) — •

On voit que l'intégrale des second ou troisième membres serait infinie, à cause du dénominateur, p ou (jl, nul à la limite inférieure, si l'on n'avait pas C>(o,o,o) ::^ o, c'est-à-dire, vu (80),

/ Urforr^o, ou si la fonction U donnée n'avait pas sa valeur

moyenne nulle.

Mais on sait que la permanence supposée des températures exige l'annulation du flux calorifique total de chaleur extérieure à travers la surface, et qu'il en résulte justement l'égalité à zéro de la valeur movenne de U.

Iw = WcH-R/ *(p cosa, pcosp, p cosy)- (8a) ^ ^^ ^

d'uT(E sphère ATHERMAlfE, HOMOGÈNE ET ISOTROPE. 63

En portant, dès lors, dans le troisième membre de (82), la dernière expression de * donnée par (80), on aura juslemenl la formule (78).

Quant à la température Uc au centre, elle reste disponible on indéterminée, comme compensation de Tincomplèle disponibilité ou indétermination de la fonction U, qu'on n'est libre de choisir

qu'avec la restriction / {] d<j -=o. Et, en effet, les deux équations du problème actuel, savoir, A^ w :rr o dans tout l'intérieur du corps et -T- = U à sa surface, ne cessent pas, quand on les donne compatibles, d'être satisfaites malgré l'addition à u d'une constante arbitraire. Elles laissent donc complètement indéterminée la température en un point choisi à volonté dans le corps, au centre, par exemple, où elle s'appelle Uc