VINGT-SEPTIÈME LEÇON

PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS UN SOLIDE HOMOGÈNE INDÉFINI, A UNE, DEUX OU TROIS DIMENSIONS (bARRE PRISMATIQUE MINCE, PLAQUE PLANE A FACES PARALLÈLES, CORPS MASSIF ) ! ÉQUATIONS DU PROBLÈME DANS LES CAS DE TROIS ET DE DEUX DIMENSIONS.

196. Objet de l'étude abordée dans cette Leçon. — Parmi les problèmes de la théorie analytique de la chaleur relatifs aux corps homogènes, mais non isotropes, l'un des plus simples et des plus intéressants est celui de la propagation de la chaleur dans leur masse à partir d'un centre, c'est-à-dire le problème de leur échauffement par une source calorifique de débit donné, n'occupant à leur intérieur qu'une région de dimensions très petites comparativement à celles de ces corps tout autour, dans les sens où ils ont une grandeur suffisante pour qu'il s'y produise de larges variations d'état physique. Le corps ainsi chauffé vers son milieu, et assez étendu dans les sens dont il s'agit pour pouvoir y être supposé indéfini, ou pour que ses extrémités gardent sensiblement leur température primitive, aura, d'ailleurs, une, deux ou trois dimensions notables, suivant que ce sera soit une barre mince, cylindrique ou prismatique, soit une plaque plane de faible épaisseur, à faces parallèles, soit, enfin, un corps massif.

Dans le cas particulier de deux dimensions, le problème devient celui qu'ont posé les classiques expériences du minéralogiste physicien de Senarmont sur la conductibilité des cristaux, étendues depuis par Jannettaz aux minéraux non cristallisés mais stratifiés, etc., et consistant à observer la forme des courbes isothermes qui se produisent, autour d'un point chauffé, sur de minces plaques planes, d'épaisseur uniforme, taillées en sens divers dans

PROPAGATION DE LA CHALEUR A PARTIR d'uN CENTRE. 65

un corps homogène. Duhamel l'avait traité, ou, du moins, ébauché, dès 1847, pour les solides à contexture symétrique (*); et le cas général d'une contexture quelconque a fait, en 1867, l'objet principal de ma Thèse de doctorat (*). Je me propose ici d'arriver, le plus simplement possible, aux résultats essentiels du problème, tanl pour ce cas de deux dimensions que pour les deux autres d'une ou de trois, tout en complétant sur un point important les démonstrations de ma Thèse.

Nous aurons d'abord à rappeler ou à établir les équations aux dérivées partielles de la propagation et, ensuite, à les intégrer, dans rhjpothèse d'une source calorifique centrale d'étendue très petite.

197. Équations du problème pour un corps massif, pourvu de sources calorifiques distribuées arbitrairement dans son intérieur* — Commençons par le cas d'un corps massif pourvu, à son intérieur, de sources calorifiques donnant en {oc^y^z)^ par unités de volume et de temps, un débit connu S(^, ^,y, z). Nous imaginerons que l'éther, supposé à la température constante prise pour zéro, lui communique en outre, toujours par unités de volume et de temps, une quantité de chaleur rayonnante, fonction uniquement de la température u du corps et qui variera dès lors en sens inverse de celle-ci : elle sera désignée par — ?(")> y étant ainsi de même signe que u et croissant avec u. Nous savons (t. 1. p. igS) que l'équation indéfinie en u sera, dans ces conditions,

<'> f^rf7 = " 5ïi- + * 5^^ ''rf? -■?("> -^^(''^'•'''^ >•

Les relations accessoires consisteront d'ailleurs à annuler u initialement, c'est-à-dire pour ^ = — 00, et aussi à toute époque aax distances infinies de l'origine, du moins dans les directions où il n'existera pas de source calorifique infiniment étendue.

(') Comptes rendus de V Académie des Sciences^ t. XXV, p. 870, i3 décembre 1847; ^' XXVII, p. 129, 7 août 1848; et Journal de l'École Polytechnique, XXXII- Cahier, p. i55 à 188; i848.

(') Étude sur la propagation de la chaleur dans les milieux homogènes, Thèse souteaue le 16 mai 1867 devant la Faculté des Sciences de Paris. Une rédaction plus condensée en a paru au Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2* série, t. XIV ; 1869.