PROPAGATION DE LA CHALEUR, A PARTIR DE DROITES PARALLÈLES

198. Cas OÙ les sources, dans le môme corps massif, sont distribuées uniformément sur toute la longueur de droites^ parallèles indéfinies* — Concevons maintenant, en vue du cas des plaques planes à traiter bientôt, que les sources de chaleur, dans notre milieu à trois dimensions, soient de longueur inGnie, orientées suivant des parallèles à une môme droite quelconque, et, sur chacune, de débit constant par unité de longueur. En d^autres termes, et si nous prenons de nouveaux axes coordonnés, rectangles ou obliques, des a:',^, z', tels que l'axe des 5' ait la direction même des sources, la fonction S, exprimée au mojen des nouvelles coordonnées x\ y', z\ ne dépendra pas de z'; et nous pourrons l'écrire simplement S(t^x'^ y'). Par suite, toutes les couches du milieu parallèles aux sr^y'^ se trouvant dans les mêmes conditions, auront les mêmes températures; et u ne sera fonction que des trois variables t, x\ y . Adoptons alors comme plan des x' y le plan diamétral conjugué, dans l'ellipsoïde principal

à l'axe des z\ c'est-à-dire à la direction des sources calorifiques ; et prenons nos axes des a/, y suivant deux demi-diamètres conjugués quelconques a', b' de l'intersection de l'ellipsoïde par ce plan. Le théorème de Lamé (t. I, p. 197) nous donnera identiquement, vu l'annulation des dérivées de u en z\

^^ dx^ dy^ dz^ dx'^ dy^

Quelle que soit, à un instant donné, la fonction u dans le plan des X' y ^ nous savons que les deux membres de (3) exprimeront la somme des flux de conductibilité entrés, par unité de temps, dans l'unité de volume d'un élément rfrn de forme quelconque, comprenant le point {x\y^ z'),

199. Expression très générale et simple, pour ce cas, de la chaleur cédée par conductibilité à l'élément de volume* — Cela posé, circonscrivons à l'ellipsoïde principal (2) le cylindre ayant .ses génératrices parallèles aux 5', c'est-à-dire de même orientation que les sources calorifiques, et dont, par suite, la directrice dans