FORMATION DE L*ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DE LA TEMPÉR

201. Recherche de réquation indéânie du problème pour une plaque plane : choix de Félôment de volume permettant de former cette équation le plus simplement possible. — Nous pouvons maintenant aborder la formation de Téquation aux dérivées partielles de la température e/, dans une mince plaque plane, d^une épaisseur constante 2e, taillée suivant une orientation quelconque à rintérieur d'un corps homogène. Nous prendrons, pour plan des XY d'un système d'axes rectangles des X, Y, Z, le feuillet moyen de la plaque, c'est-à-dire son feuillet équidistant des deux bases Z = zfce. De l'origine émaneront d'ailleurs les axes déjà considérés ci-dessus Ox, Oy^ O5, dirigés suivant trois demi-axes a, fc, c de l'ellipsoïde principal (2) du corps.

Concevons, en outre, qu'on marque la direction constante suivant laquelle seraient orientées les génératrices des surfaces isothermes, si chaque feuillet parallèle aux bases gardait sa chaleur, ou que les courants calorifiques fussent normaux aux Z. Puis circonscrivons à rellipsoïde principal le cylindre dont les génératrices ont cette direction et dont l'axe, que nous appellerons O:;', serait celui que nous avons, ci-dessus (p. 66), désigné de la sorte, si, en efiet, les courants circulaient dans la plaque parallèlement aux feuillets (*). Enfin, associons à O5', sur le plan qui lui est conjugué dans l'ellipsoïde principal, deux axes des x' et des^, tels, que les plans des x's'et à^s y' z' se trouvent ainsi menés suivant jes deux axes de l'ellipse d'intersection du cylindre par le feuillet moyen de la plaque; et choisissons précisément ces axes de l'ellipse d'intersection, dont nous appellerons A et B les moitiés, pour axes OX et OY. Bref, ceux-ci seront les plus simples, dans leur plan, que l'on puisse prendre parmi ceux qui correspondent aux diamètres conjugués appelés tout à l'heure (p. 67) 2 A', 2B', lorsque les surfaces isothermes deviennent des cylindres à génératrices orientées suivant Os'.

Cela posé, on conçoit que l'élément naturel de volume conduisant, pour la plaque mince, à une équation des températures où n'entre pas la petite coordonnée transversale Z, soit un tronçon prismatique ou cylindrique, ayant comme bases deux éléments

(*) Nous savons qu'il en est, effectivement, à peu près ainsi; mais la démoastration suivante ne dépend pas de ce fait.

DAfïS UNE PLAQCB PLANE, HOMOGÈNE, HAIS BÉTÉROTROPE. 7I

égaux rf(j des deux faces de la plaque et, comme hauteur, son épaisseur 2 e. Mais le point délicat de la question sera de former une expression totale des flux entrant par la surface latérale, ou cédés au tronçon considéré par les tronçons voisins, qui ne contienne pas les dérivées de u par rapport à Z. C'est ce à quoi Ton arrivera immédiatement, quelle que soit même la rapidité relative de variation de u avec Z, en orientant les généralrices de cette surface latérale suivant la direction qu'affecteraient les courants de chaleur si les feuillets de la plaque étaient isothermes. Car, dans de telles conditions, les flux s'annulant à travers tous les éléments de la surface latérale coupés par un feuillet, dès que s'annulent, dans le feuillet, les dérivées de m en X et Y, il est clair que la dérivée de w, dans l'espace, à laquelle est proportionnel en (X, Y, Z) l'un quelconque de ces flux, se trouve être une dérivée prise dans le plan du feuillet et où, par conséquent, ne figure du ,,.

Taillons donc idéalement, au-dessus et au-dessous d'un élément rfj du feuillet moyen, à coordonnées X et Y, un tronçon de base rf(T et de hauteur 2e, ayant ses faces latérales parallèles à la direction ainsi fixée; et découpons-le, par des plans équidistants parallèles aux Z, en feuillets égaux, de hauteur e/Z. Dans le feuillet compris entre les deux plans à coordonnée transversale Z et Z-f é/Z, la chaleur totale entrée par la surftice latérale, à l'époque t et durant l'unité de temps, dépendra de la manière dont f/, à cette époque, varie avec X et Y dans l'un de ces plans, mais non de la manière dont u varie d'un plan à l'autre. Or nous pouvons disposer de celle-ci, c'est-à-dire du mode de variation de u avec Z dans le feuillet (et, cela, sans changer la somme de chaleur en question), de manière que les flux soient nuls sur les deux bases du feuillet, savoir, en faisant u constant le long des éléments rectilignes parallèles à O3'.

Alors, les formules (3), (8) seront évidemment applicables au feuillet, avec cette circonstance que X', Y', A', B' deviendront X, Y, A, B; et, les flux s'annulant, dans l'hypothèse faite, sur les deux bases du feuillet, c'est la somme même à évaluer, des flux

(') Oo peut voir du reste, à ce sujet, le Tome I, page i52.

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entrés durant l'unité de temps par la surface latérale du feuillet, qui sera le produit du binôme A^ ^" + B^ -^ par le volume considéré AvdL du feuillet, de quelque manière d'ailleurs que varie effectivement w avec la petite coordonnée transversale, c'est-à-dire avec Z ou z\ à volonté.

202. Expression de la chaleur fournie par conductibilité à un tronçon de la plaque. — Il suffit maintenant, pour avoir la chaleur totale fournie, dans l'unité de temps, au tronçon considéré aerfo", par les tronçons voisins, de sommer cette expression

en passant du feuillet inférieur aux autres, c'est-à-dire de Z = — e à Z= e, sans sortir du tronçon, c'est-à-dire le long de parallèles aux génératrices de la surface latérale. Appelons U la température moyenne le long d'une telle parallèle, moyenne que nous écrirons simplement

dZ

mais en nous souvenant qu'à chaque niveau Z, les variables X et Y, dans l'expression de w, y excéderont de quantités constantes, proportionnelles à Z, les coordonnées de ce nom considérées dans le feuillet moyen Z=o. Cette expression de U, fonction du temps et des coordonnées X, Y du point du feuillet moyen où la parallèle considérée perce ce feuillet, aura évidemment, pour dérivées secondes directes en X et Y, / .^^ ,^^^ — , s'il est en-

tendu que, sous le signe l > X et Y sont encore accrues, dans les

expressions des dérivées secondes de ;/, des mêmes quantités constantes à chaque niveau Z, ou que l'intégration en Z se fait le long d'obliques au plan XOY, parallèles aux génératrices de la surface latérale des tronçons. Et l'expression (ii), intégrée de Z = — eàZ = e, donnera