FORMULES NON LINÉAIRES DES FLUX ÉMIS PAR LES CORPS

acquièrent par unité de temps a donc Texpression (i5); et celle-ci égale dès lors l'accroissement correspondant, ou la dérivée en /,

vent général), la somme de deux termes, l'un, en U, Tautre, en U'»"* ou, plus généralement, en U*-*-'% avec s de l'ordre de 0,1; et ce flux a Sun expression de la forme kV{i-\- k'V^*). Pour plus de simplicité, faisons constants non seulement £, mais aussi k et k', d'ailleurs positifs comme t.

Soit alors un corps de volume o, de surface a et à température sensiblement uniforme U, ou dont la chaleur en excès est CoU et donne par unité de temps le flux

total — Co^. Ce flux y ayant la valeur A'<jU(h- A'U^»), le rapport, —71-37»

de la vitesse du refroidissement à l'excès U de température, sera 7r-(t 4-Ar'U") :

conformément aux expériences de Fourier (t. I, p. 278), il décroît avec Texcés U et n'est sensiblement constant que pour d'assez petites valeurs de U.

Si l'on cherche, par exemple, ce que devient, dans ces conditions, le problème très simple de l'état permanent d'une armille, l'équation différentielle (a) de ce problème (même t. I, p. q6o) prend la forme, en remettant désormais u au lieu de U,

(a.) ^'J =hu{i-i-k'u^n,

Éyaluons le rapport — considéré spécialement par Fourier [t. I, p. 361,

form.(P)], en nous bornant au cas d'intervalles 6 assez petits. L'expression approchée, bie donnera

chée, bien connue, de la dérivée ;t-2> par le moyen d'une diff"érence seconde,

ou bien, vu (a,) et en isolant le rapport cherché,

tt^-hu-, ^^^ KH!^ (,^;j.'j^3,)^ (sensiblement) coh[5 v^A(i-t- A-'u^')]"

On voit qu'il croit avec u et ne se réduit à la constante coh(8v'/^) que lorsque l'excès u est assez petit.

Cherchons enfin ce que devient la loi de Lambert, pour une barre prismatique s'étendant, le long de l'axe des a;, depuis l'origine x = o jusqu'à a? = 00 , et ayant son extrémité rr = 0 chauffée à une température en excès donnée u^.

L'équation (a^^ multiplié par 2 -r- rfx, puis intégrée de manière que u et sa

dérivée négative s'annulent à l'infini, donne, en divisant finalement par u^.

r du- ./ k' .\ ^ du /. ^ k' ,\

u^ dx- \ i-f-e/ u dx y \ i4-e/

Le rapport, à l'excès w, de sa pente — -r-t décroît donc avec m, un peu comme