VINGT-HUITIÈME LEÇON
SUITE : CONDUCTIBILITÉS PRINCIPALES d'uNE PLAQUE ; ÉQUATION DU PROBLÈME DANS LE CAS d'uNE SEULE DIMENSION NOTABLE.
205. Direction et grandeur des conductibilités principales de la plaque. — L'équation indéfinie (i6) du problème posé a donc, dans le cas d'une plaque, la même forme (i) (p. 65) que dans celui d'un corps massif, à cela près que x, j^, 5, a, a, 6, c sont maintenant remplacés par X, Y, U, A, B, et que la fonction '^, donnée par ( 1 4), est tout autre. Mais il reste à déterminer les directions OX, OY et les coefficients A, B, c'est-à-dire les sens et les grandeurs des deux conductibilités principales A^, B^ de la plaque, lorsqu'on donne Torienlation de celle-ci par rapport à Tellipsoïde principal (2) (p. 66) du corps massif d'où la plaque a été extraite.
Nous connaissons, il est vrai, une ellipse ayant précisément ses demi-axes A, B orientés suivant les deux conductibilités cherchées et égaux aux racines carrées de leurs grandeurs : c'est l'intersection, parle feuillet moyen de la plaque, du cylindre circonscrit à l'ellipsoïde principal, avec génératrices isothermes quand les courants de chaleur sont parallèles au feuillet moyen. Mais un tel cylindre est essentiellement changeant avec la direction de la plaque; et il y a lieu de construire, à sa place, un ellipsoïde de forme et d'orientation invariables, capable, s'il est possible, de contenir cette ellipse représentative des conductibilités A^, B^ de la plaque.
A cet effet, soient X, [jl, v les trois cosinus directeurs de la normale à la plaque, par rapport aux axes des x^ y^ 5, qui sont ceux de l'ellipsoïde principal (2); et, pour fixer les idées, supposons cette normale menée du côté qui fait un angle aigu avec Vaxe d^ asymétrie MC du corps {fig- i3, t. I, p. i4i) dont les cosinus
8o CONDUCTIBILITÉS PRINCIPALES d'uNB PLAQUE HOMOGÈNE :
directeurs analogues ont les rapports mutuels et les signes de a^(D, 6^C, c^^. Les courants de chaleur, dont les propres cosinus directeurs sont entre eux comme les trois flux principaux F^:, F^, F^, seront parallèles aux feuillets de la plaque, quand on aura la condition de perpendicularitéXFx-h (AF^-h vF,== o, c'est-à-dire, d'après les formules (67) (t. I, p. i3o),
\ dx dy dz ) \ dy dz dx )
f ^du ., du ,-. du \
ou
bien
(a«XH-^fx-£v)^-4-(6«ii-^(î)v-^)^'-t-(c«v-i-CX-(î)fi)^ =0.
C'est dire que la direction, O^', des éléments rectilignes toujours isothermes pour ces courants, ou, par suite, la direction des génératrices du cylindre qu'on doit circonscrire à l'ellipsoïde principal (2) (p. 66), est définie par trois cosinus proportionnels aux coefficients
(17) a«X-T-^[x — Cv, 6«{i-^00v — #X, c«v-4-CX — côjx.
206. Cylindre portant l'ellipse indicatrice de ces conductibilités principales. — Si donc ;r, y^ z désignent les coordonnées courantes d'une génératrice quelconque du cylindre, et jTo^ >'o? ^0 celles de son point de contact avec l'ellipsoïde, les équations de la génératrice seront
a*X-^^|i — Cv 6t,jL-+-Ut)v— JX c-*v-T-C:X-a){x
De plus, la génératrice appartenant au plan tangent de l'ellipsoïde en (oToî^Oî ^o)î l'on aura
équations qui, retranchées l'une de l'autre, donnent, en vertu
de (18),
( ^,(«*^-^^l^-'i^v)-t--g(6V4-(Dv-^X) (20) \ "*
CONSTRUCTION DS l'bLLIPSE QUI LES REPRÉSENTE. 8l
Pour avoir l'équation du cylindre, éliminons Xo, yoj -^o entre (18) el (19). A cet effet, ajoutons terme à terme les trois rapports égaux (18), après les avoir multipliés haut et bas soit par
'~i*hi' "ï' ^^'^ P^^ ^^® produits des expressions (17) et de — >
Tj> — • En tenant compte, dans les résultats, de (19) et (20), il
suffira d'égaler les deux nouveaux rapports ainsi obtenus pour avoir, par l'évanouissement des dénominateurs, l'équation cherchée du cylindre :
<î:x — (D(ji\î
207. Snbstitutiony à ce cylindre^ d'un ellipsoïde, homothôtique par rapport à celui des conductibilités. — Nous ne désirons connaître ici que l'intersection de ce cylindre par le feuillet moyen de la plaque, dont l'équation est
Xar-f- ^y -h v^ = o.
Le second membre de (21) se réduit donc aux termes en cî), C, i. Or, si l'on y pose, pour abréger.
' Ub = aCD.cv — cS,a\.
\ e =bC.a\'-a(S^,b\x, ces termes donnent, en tout,
— ^V^î+nb^ + a-V.
a*b*c* \ a b cj
83 CONDUCTIBILITfiS PRINCIPALES u'UNE PLÀQDB HOHOGÈKB :
OU bien, en y utilisant une identité usuelle,
1 (.,.^e^)'-(af-xiy--(..^-,<-)].
Mais, dans cette formule (24)? l'on a^ vu (28 ),
f — (a'CôX 4- 6«Cii -h c«^v)S
et, d'autre part, d'après (28) et (22),
( -ift, -^. G-Ç =(a(D.cv — c^.aX)i~(6C.aX — aOD.^fx)^ j c 6 c "^ 6
^^ ^ j =-^ a(0(Xa?-i- jij^-hvz) — aX((£)a7-f-C^-h^«)
avec des expressions analogues pour G aV.-» eA«*^ — Ub ~; ce
qui donne au lieu de (24)1 en laissant provisoirement subsister le trinôme X^-f-ife*+ G^ à la place de son expression (a5).
) ««6*c« \a« "^ 6» "^ cV
Tel sera donc le second membre de (ai). Quant au premier membre, la somme de trois carrés qui constitue son second facteur, et qui n'est autre que
a pour développement, vu l'annulation identique des doubles produits ajoutés que donnent les carrés des trois binômes,
L'équation (21) devient donc, en transposant au premier membre le premier terme du second, ou de (27), puis réduisant, transpo-
CONSTRUCTION DE l'eLLIPSB QUI LES REPRÉSENTK. 83
sanl encore trois termes et divisant par a^\^-]- b^y.^-r- c^v^ .
C'est Téquation d'un ellipsoïde concentrique et homothélique par rapport à celui des conductibilités (t. I, p. i44? form. 90). Donc Tellipse figurative des conductibilités principales de la plaque est rintersection du feuillet moyen par un tel ellipsoïde.
208. Construction de cet ellipsoïde et, sur la plaque donnée» de' l'ellipse représentant ses deux conductibilités principales. — Pour achever de construire celui-ci (28), cherchons les points qui lui sont communs, tout à la fois, avec le feuillet moyen (2?.) et avec l'ellipsoïde principal (2) (p. 66). Les relations (28) el (2), retranchées l'une de l'autre, donnent, pour ces points,
équation de deux plans, conjugués au diamètre commun des deux ellipsoïdes principal et des conductibilités. Les deux ellipsoïdes (2) et (28) se coupent donc suivant deux ellipses égales et parallèles; ce qu'on savait déjà (t. I, p. i44)- Mais cherchons seulement, sur les plans (29), ou plutôt sur les ellipses communes aux deux ellipsoïdes, leurs intersections, vérifiant notamment les équations (2) et (22), avec l'ellipse figurative que contient le plan du feuillet moyen de la plaque. Le premier membre de (29) y égalera, d'après la formule (26) et les deux autres analogues, la somme
c'est-à-dire
ou, plus simplement, vu (2),
84 GONDUCTIBIUTÉS PRINCIPALES D*UNB PLAQUE HOMOGÈNE :
Et l'équation (29) se trouve remplacée par celle-ci, (30) (.A,£ + „l,J+s£y=o,
qui représente deux plans infiniment voisins passant par l'origine.
Les points communs cherchés, intersections de Tellipse figurant les conductibilités principales de la plaque avec les deux ellipses, parallèles, communes aux ellipsoïdes (2) et (28), se réduisent donc aux deux extrémités du diamètre de la première de ces trois ellipses suivant lequel se coupent les deux plans (22) et (3o). C'est dire que l'ellipse figurative des conductibilités de la plaque se trouve, sur l'ellipsoïde (28), inscrite entre les deux autres ellipses, (29), égales et parallèles. Elle leur est donc tangente : d'où il suit que son plan, feuillet moyen de la plaque, leur est également tangent; et, aussi, que ce plan, touchant ainsi les deux mêmes ellipses (29), qui appartiennent à rellipsoïde principal (2), coupe cet autre ellipsoïde suivant une quatrième ellipse, encore inscrite entre les deux premières, aux extrémités du même diamètre des deux ellipsoïdes.
Pour construire l'ellipse représentative des conductibilités principales de la plaque, on coupera donc V ellipsoïde principal par le feuillet moyen de celle-ci; puis on inscrira V ellipse ainsi obtenue entre deux plans parallèles, conjugués au diamètre commun des deux ellipsoïdes principal et des conductibilités; enfin, suivant les deux ellipses égales d'intersection de ces plans et de V ellipsoïde principal, on mènera l'ellipsoïde (28), semblable à celui des conductibilités : et c'est en coupant cet ellipsoïde {28) par le feuillet moyen de la plaque, qu'on aura l'ellipse cherchée, dont les demi-axes A, B représentent non seulement en direction, mais aussi, par leurs carrés, en grandeur, les deux conductibilités principales A^, B* de la plaque (*).
( > ) Réduite au strict nécessaire en ce qui concerne Tellipse figurative des deux conductibilités de la plaque (ellipse évidemment extérieure à Tellipsoïde principal, comme le cylindre circonscrit qui la contient), la construction ainsi indiquée revient simplement à marquer, sur le feuillet moyen, les deux traces de l'ellipsoïde principal et de V ellipsoïde des conductibilités, puis, à circonscrire
CONSTRUCTION DB l'bLLIPSE QUI LES REPRÉSENTE. 85
S09. Lien des ellipses figuratives on indicatrices. — L'ellipse cherchée sera donc comprise entre les deux plans exprimés par (29), c'est-à-dire, en entier, dans la partie de l'ellipsoïde (28) qui est extérieure à l'ellipsoïde principal^ el toute celle partie se trouvera occupée par les ellipses analogues, concernant les plaques d'orientation diverse qui utiliseront le même ellipsoïde (28), ou pour lesquelles le dernier terme de (28) aura la même valeur. Ce seront les plaques à cosinus directeurs X, jx, v
leis, qu une droite ayant les cosinus directeurs --^ — *- — •
soil, chez toutes, inclinée d'un angle égal 0 par rapport à la droite
/W'f qae définissent les cosinus directeurs .ir^zr -—= • il.n
effet, l'on y aura
ni)
v/a« (0» -h 6» 6î -^ c« J2 yja^ X* -h 6» |ji« -h c« v«
et le second membre de (28) y prendra, vu (25), la valeur constante
(îï IH rrr-. sinî6.
Les ellipses représentatives correspondantes auront évidemment comme enveloppe, sur leur ellipsoïde (28), sa double courbe d'intersection (29) avec l'ellipsoïde principal (').
à la première une courbe concentrique aux deux et homothétique à la seconde : celte courbe est justement Tellipse figurative.
La circoDscriptioQ du cylindre à Tellipsolde principal entraînait, en effet, celle de Tellipse indicatrice à la trace de cet ellipsoïde, ellipse et trace ayant toutes deox le diamètre qui leur est commun avec l'ellipse de contact.
f') On remarquera que, si l'on considère» outre les deux droites à cosinus directeurs proportionnels respectivement à a\ 6|x, cv et à aCÔ, bC, cS^ une troisième droite, ayant ses cosinus directeurs entre eux comme X, "Ub, C, celle-ci sera, d'après les formules (28), perpendiculaire à l'angle 0 des deux
premières. Alors les rapports — » '^> -» o^ je suppose que x, y y z désignent les
coordoooées d'un point de contact de l'ellipse figurative avec son enveloppe, seront éridemment les cosinus directeurs d'une quatrième droite, comprise^ d'après (3o ), daos le plan des deux premières et perpendiculaire, en vertu de (22), à celle d'entre elles qui dépend de la direction de la plaque ou, ce qui revient au
Tî
même, inclinée sur l'autre, qui est fixe, de l'un des deux angles - ±6.
86 PROPAGATION DE LA CHALEUR LE LONG d'uNE BARRE REGTILIGNE I
Quand sinô croît de o à i, la zone de l'ellipsoïde (28) extérieure à l'ellipsoïde principal grandit sans cesse; et, d^abord réduite à T ellipse diamétrale conjuguée à Taxe d'asymétrie, elle finit par comprendre tout l'ellipsoïde, devenu alors celui des conductibilités. Par conséquent, les ellipses représentant les conductibilités principales A^, B^ des plaques ont, pour lieu géométrique général, tout l'espace compris entre les deux ellipsoïdes principal et des conductibilités.
210. Formation de l'équation indéfinie du problème pour une barre : chaleur gagnée par chaque tronçon de barre sur ses deux voisins. — Pour former l'équation indéfinie des températures, dans le cas d'une mince barre cylindrique ou prismatique, découpée de part et d'autre du centre O de l'ellipsoïde principal (2) relatif à un corps massif homogène, nous procéderons à peu près comme dans le cas d*une plaque plane.
Nous prendrons, à partir de l'origine 0, un système d'axes rectangulaires des X, Y, Z, le premier, suivant la longueur de la barre, les deux autres, parallèles à ses sections droites (x; et nous choisirons comme élément de volume un tronçon prismatique o- cDL^ de longueur rfX, dont les bases seront deux sections obliques telles, que le flux traversant leurs divers éléments dépende de l'unique dérivée en X de la température u correspondante. Il suffira évidemment, pour cela, que ces sections soient dans les plans qui contiennent toujours les courants de chaleur quand les parallèles à l'axe des X sont isothermes; car alors l'annulation de --p^
entraîne celle des flux à travers ces plans. Divisant enfin le tronçon en fibres prismatiques parallèles aux X et de longueur é/X, ayant pour bases les divers éléments, à coordonnées Y, Z, des bases du tronçon, ou pour sections normales les éléments correspondants dcr d'une section droite, nous considérerons l'une quelconque de ces fibres.
Imaginons qu'on laisse subsister les températures u existant sur son axe à l'époque ^, ou la manière dont u y varie avec X, et, par suite, qu'on ne change pas la somme algébrique des flux qui pénètrent dans la fibre par les deux bases, mais qu'on modifie la manière dont u y varie avec Y et Z, de la façon qu'il faut pour y faire
ÉTABU88BMEIIT DE l'ÉQUATION INDÉFINIB. 87
mouvoir la chaleur suivant les X, ou pour qu^aucun flux n^y traverse la surface latérale. Cela aura lieu par Tégalisation des températures dans la fibre sur toute Tétendue de chaque plan appartenant à la famille de plans parallèles qui seraient isothermes pour des courants dirigés suivant les X. Si nous menons alors à Tellipsoïde principal les deux plans tangents de la même famille, et que A désigne la distance, à l'origine O, du point où Taxe des X perce Tun d'eux, A et X seront ici ce que nous appelions A' et X' dans le n^ 200 (p. 69), où nous considérions aussi un mode de distribution des températures par plans parallèles à deux plans tangents donnés ip' = dz </ de Tellipsoïde principal. Et la somme des flux de conductibilité, pénétrant par unité de temps dans l'unité de volume de la fibre do* rfX, sera, comme on a vu au même endroit, A'^^. c'est-à-dire A^»^.
Or cette somme, qui est ainsi, pour la fibre, A^^jrfa-rfX par
unité de temps, se trouve réduite à celle des flux entrant effectivement à travers les deux bases, par la manière même dont on a modifié les variations de u avec Y et Z, qui annule tout flux sur la surface latérale. Et si l'on ajoute les résultats relatifs aux diverses fibres d'un tronçon, il vient, pour la chaleur totale fournie dans l'unité de temps au tronçon par ses deux voisins, l'expression
Appelons U, fonction déterminé.e des deux variables seules t et X, la valeur moyenne de u sur la section faite, dans la barre, parallèlement aux bases du tronçon et par le point de l'axe des X (ou axe de la barre) dont l'abscisse est X. Posons, en d'autres termes.
(34» lJ = fu
formule où il est ainsi entendu que, sur la fibre longitudinale de section droite dv et définie par deux valeurs données Y, Z des coordonnées transversales, l'abscisse excède, dans l'expression de £/, d'une quantité constante (fonction linéaire de Y et Z), l'abscisse X de l'axe. Il est clair qu'on aura, sous la même réserve
