PROPAGATION DE LA CHALEUR LE LONG D^CNE BARRE REGTILIGNB

à faire pour la fonction -7^ sous le signe / >

rfX« "X d\i a '

en sorte que l'expression, (33), de la chaleur fournie dans Tunité de temps au tronçon à travers ses deux bases, deviendra

(35) A'^^dc».

Il résulte d'ailleurs d'une règle de la IX* Leçon pour la construction des courants de chaleur, que, lorsqu'un courant chemine suivant un demi-diamètre donné RM (t. I, p. i4i, fig' i3) de l'ellipsoïde des conductibilités, la direction des surfaces isothermes est celle d'un plan tangent (en Q) à l'ellipsoïde principal et contenant une droite QR qui aboutit justement à l'extrémité R du rayon donné MR. Donc, le plan tangent à mener ici à Tellipsolde principal devant être isotherme pour les courants dirigés suivant OX, c'est dans le sens même de OX qu'il faut choisir le rayon MR de \^ Jig, i3; et la portion A de OX comprise depuis le centre jusqu'au plan tangent ne sera autre que MR. Ainsi, le paramètre A, de V expression (35), égale le demUdiamèire tiré suivant la direction même de la barre, dans V ellipsoïde des conductibilités.

211. Chaleur cédée au tronçon par Tair ambiant et par Téther.

— Formons maintenant l'expression de la chaleur que la matière pondérable du tronçon reçoit, dans l'unité de temps, à travers la surface latérale. Si, pour la génératrice de la barre qui coupe un élément donné rf^ du contour 'y^ de la section droite. Ton appelle k et Ue^ respectivement, la conductibilité superficielle et la température extérieure, supposées constantes et invariables sur toute la longueur de la génératrice, la chaleur entrant, durant l'unité de temps, par l'élément correspondant rfy^ rfX de la surface latérale du tronçon, sera sensiblement

k{uc—\^)did¥..

Or convenons de choisir l'origine des températures de manière

ÉTABLISSEMENT DE l'ÉQL AT ION INDÉFINIE. 89

à avoir

kuedy — o.

Alors la chaleur totale communiquée au tronçon par Tatmosphère ou Téther ambiants sera

(36) -( fkdy\udX.

Ajoutons-y, si la barre est diathermane, la quantité de chaleur fournie au tronçon par l'élher qui le pénètre, quantité que nous supposerons de la forme simple — LU par unité de volume et qui sera — LU<rrfX pour tout le tronçon. En posant, d'une manière analogue à (i4) dans le cas de la plaque (p. 74),

(37) cp(L)-^ flJkdy-^l^jV,

nous aurons en tout, par unité de temps,

n8) —o{V)fjd\,-

Il est clair d'ailleurs que l'expression (87) de (f (U), sensiblement linéaire tant qu'aucune génératrice de la surface latérale ne sera recouverte d'une substance pouvant changer d'état durant le phénomène, se compliquera beaucoup, au contraire, comme il arrivait dans les plaques considérées plus haut (p. 74), si certaines parties de la surface ont reçu une couche de cire ou de toute autre matière aisément fusible et altérable pendant l'expérience, de manière à y faire dépendre de U la conduclibilité superficielle Â. En pareil cas, et à moins que la température extérieure Ue n'ait une valeur commune sur toutes les généralrices, le facteur f (U) s'ac-

croîl généralement du terme — - / kuedy, fonction de U; mais

op peut toujours rendre nul <p(U) pour U ^== o, en choisissant convenablement le zéro des températures U, entre le maximum et le minimum de Mr ( ' V

(') En effet, la chaleur, ^(U), rayonnée par Tunité de volume du corpS; s'annule i uoe certaine température, U, moyenne entre les diverses températures extérieures données u^; car elle est évidemment positive quand U égale la plus haute d'entre elles, et négative quand elle égale la plus basse. Il suffira donc de prendre pour origine la température même qui annulera ?(U).

J'aurais pu, au n** 203 (p. 74)» faire une remarque analogue, relativement aux

90 ÉQUATION INDÉFINIE DBS TEMPÉRATURES d'uNE BARRE.

212. Équation indéfinie des températures de la barre. — Appelons enfin S(^, X) le débit donné, par unité de volume, des sources calorifiques existant dans le tronçon a- e/X, ou

(39) S(t,X)fjd\

leur débit efieclif dans Tunité de temps. Ce sera évidemment la somme des trois expressions (35), (38), (iy) qui évaluera Paccroissement correspondant, c'est-à-dire la dérivée en ^, de la chaleur du tronçon, laquelle est, à une constante près, iCu) (rftxrfX)

pour une fibre et, par suite, C ( j ud<j\ rfX, ou CUo" ûffi. d'après

(34), pour tout le tronçon. 11 vient donc, comme équation indéfinie des températures dans la barre,

do ) C ^ r^ A2 ^^ ^- (p( U ) -^ se ^ X).

Notre démonstration subsiste même dans le cas exceptionnel oii les fibres longitudinales seraient isothermes; ce qui donnerait aux courants de chaleur une tout autre direction que celle de Taxe delà barre et rendrait inapplicable, du moins d'une manière immédiate, l'autre démonstration également indiquée dans la X® Leçon (l.I,p. i54).

Mais, ici où U s'annulera partout initialement, et même toujours aux distances infinies de l'origine, sans qu'aucun changement survienne dans les températures extérieures, les courants chemineront très sensiblement le long des fibres, et cette autre démonstration s'appliquera, si l'on veut. Elle aurait même l'avantage de montrer, plus intuitivement encore que la précédente, V identité du coefficient de conductibilité A^, avec la conductibilité K du corps pour les courants calorifiques orientés suivant l''axe de la barre, ou avec le carré du demi-diamètre de même direction dans ^ellipsoïde des conductibilités.

plaques dont les faces sont soumises à deux températures extérieures inégales et ont leurs conductibilités superficielles kt k' variables avec la température

intérieure U. La fonction 9(U) s'y accroît du terme [kug-j- k'u'e)^ alors

dépendant de U. Mais ?( U) s'annule encore pour U = o, grâce au choix, comme zéro, d'une température convenable, intermédiaire entre Ug et Ug.