PROBLÈME DE LA DISSÉMINATION DE LA CHALEUR

Le problème de l'échauffement du corps homogène se trouve ainsi ramené à un problème tout pareil, mais concernant un corps isotrope, où les coordonnées, qu'on peut supposer rectangulaires (pour fixer les idées), seraient Ç, r,, ... et où les conductibilités a^, è^, . . . vaudraient Tunité. Dans ce corps à coordonnées £, Yi, . . . , le débit de chaque source (par unité de temps), qui était, dans le proposé,

ou

ab... \f,.,fs(t,albri, . . . ) rfÇ rfr, . . .1 ,

avec des limites d'intégration marquées par les limites mêmes de la source, devient évidemment /.../ S(^, ûrÇ, èvi, .. .)rfÇrf71* .. : il se trouve simplement divisé par le produit aè. . . .

214. Problème de la dissémination et du rayonnement de la chaleur, pour un corps isotrope indéfini, à une, deux on trois dimensions. — Nous essaierons d'abord de résoudre le problème, relatif au corps isotrope, pour le cas où les sources auraient un débit nul, sauf pendant un instant <iô compris entre deux époques infiniment voisines ^ = 0, ^ r= 6 4- rfO, durant lequel elles donneraient leurs débits efiectifs, c'est-à-dire verseraient, dans chaque élément d^dr^ . . . du corps, la quantité de chaleur

(46) û?^ = S(e,a5, br^^ ...)d^dldri

Nous appellerons Uo (Ç, "y;, • . .) Taccroissement instantané correspondant de la température, produit dans l'élément d^dr^. , . du corps où sourdra ainsi cette chaleur, c'est-à-dire le quotient de dq par la capacité CrfÇrfr,. . .; ce sera donc la fonction infiniment petite

(46 bis) uoil T„ . . .) = S(e, a?, Ô7), . . .) ^•

Et l'inconnue w, nulle avant l'époque ^ ^^ 6, ou pour ^ <[ 0, sera, après cette époque, régie, vu (44^? par l'équation aux déri-

DANS CN MILIEU ISOTIOPE, INDÉFINI, A UlfB, DEUX OU TROIS DIMENSIONS. 98

vées partielles

jointe à la seconde relation générale (45) et à la condition d'état initial

<48) u = Uoi^yT,, , . .) pour / = 6.

Nous aurons donc à résoudre d^abord un problème de refroidissement.

215. Refroidissement d'un tel corps, dans les hypothèses d'une matière athermane et d'une conductibilité extérieure nulle : formation d'un élément de l'intégrale. — La solution en est aisée à former quand la fonction o{u) se réduit à zéro, c'est-à-dire quand la chaleur se dissémine dans notre milieu indéfini, mais en gardant intégralement sa nature de chaleur de conductibilité et, par conséquent, sans se transformer en chaleur rayonnante^ ou, pour rendre la même idée plus brièvement, sans rayonner.

Posons alors, pour plus de simplicité, C^^i, / — Ô=:t; et, afin d'éviter toute confusion avec le cas général, appelons U ou même parfois, plus explicitement, U(t, Ç, yj, . . .), l'expression de u pour les valeurs positives de t. L'équation (47) et les relations qui s'y adjoignent seront donc :

(5o) (pour /5*-t- Tj«-+-... infini) U = o, (pourT = o) U = Mo(5>^» ••)•

Dans le cas d'une seule coordonnée, Ç, la formule de U, comprise dans l'une, (8), de celles de la XXPLeçon(p. 7), est, en faisant dans cette formule (8)a = i et y changeant / en t, Ç en a, x en Ç, F en Woï

(•,1) u = — — r 1 e ♦'f Uq{'X) dvL = —- I e-'^*Uo{^'\''Hx)/z)dtx).

On vérifie du reste, par la diflTérentiation, que l'élément de U, sous sa première forme (5i) qui le fait proportionnel à