PROBLÈME DE LA DISSÉMINATION DE LA CHALEUR

satisfait bien à (49), oa a sa dérivée en t égale à sa dérivée seconde en Ç; et la dernière forme (5i) de U, déduite de la précédente en posant a = Ç -|- a to v^t, montre immédiatement que les deux conditions adjointes (5o) sont également satisfaites, les valeurs données de Uq (Ç) s'annulant, par hypothèse, aux deux limites

Or on passe facilement du cas d'une seule coordonnée, Ç, au cas d'un nombre quelconque, Ç, t), . . ., en remarquant d'abord que, si l'état initial donné, i/o(Ç,t,, ...), égale le produit /(Ç)ij;(7j)..., de fonctions dépendant, chacune, d'une seule coordonnée, la fonction U égalera aussi le produit des solutions, F(t, £), W(i,r^)

qui correspondraient aux états initiaux exprimés par /(Ç), A^yi), — En effet, les fonctions F, W, , . . ayant alors, d'après (49), leurdé-

nvee en 1 égale respectivement a --i^f "TT' • • • > un tel produit

U ^= FT. . . donnera

i dV } dF ± dW i d^F 2, ^^^

V 'dz ~ F dz'^ ^ "dx ~^ F "^»""^ W dr^^ '^"'

i d*.FW.,. 1 d*.n\,.F

F^^'.. </{» U^..F dr,^

c'est-à-dire l'équation (49) elle-même. Et, d'ailleurs, les conditions adjointes (5o) seront satisfaites identiquement (* ).

Cela étani, prenons la fonction e/o(i, v|, ...)j d'une part,

(') On remarquera qu'elles le seraient encore si, le corps étant non plus in défini, mais rectangulaire (limité par des plans parallèles aux plans coordonnés), et en rapport, à sa surface, avec une atmosphère à la température zéro, la première condition (5o) se trouvait remplacée par une autre, qui, à cette surface, c'est-à-dire pour deux valeurs constantes ou de (, ou de t^, ..., assujettirait la

dérivée correspondante -7—= r (suivant une normale rfÇ, ou dri^ ...) à avoir

UH rapport constant donné avec la température même U. Car un tel rapport

ry -T-z n'y serait autre, vu la possibilité d'y supprimer haut et bas les

facteurs indépendants ou de Ç, ou de t„ . . ., que ■= -^ ou — -7- » • • •> fractions

alors égales, par hypothèse, aux valeurs voulues.

C'est, du reste, ce qu'on avait déjà observé en étudiant les refroidissements du cube et du parallélépipède (t. I, p. 279, a83, a84).