DANS UN MILIEU ISOTROPE, INDÉFINI, A UNE, DEUX OU TROIS DIMENSIONS

égale à sa valeur effective Uo(oLj ^, ...), dans rélément du corps d\di\ . . . -^ drL d^ . . . qui se trouve compris entre les valeurs a, p, . . . et a 4- û^a, ^-ht/jS, ... des coordonnées, mais,

d'autre part, nulle en dehors de cet unique élément dcnd^ Alors

Mo(î, T,. ...) sera bien le produit de fonctions /($), <J'(tj), ..., dont l'une, /(ç), s'annulera identiquement en dehors des limites i=:a, l~x-i- doL et vaudra, par exemple, Wo(a, [3, . • ) entre ces limites, tandis que la seconde, <j'(v|), nulle en dehors de Tintervalle vj r= p, ri = ^-\-dp, se réduira à i dans cet intervalle, etc. Donc F(t, Ç) aura, d'après le second membre de (5i), l'expression

^'(t, 7, ) égalera, de même,

^«(L. vt

et il viendra, comme valeur correspondante de U(t, Ç, t,, . . . ), s'il y a n coordonnées Ç, tj, . . ., le produit

i-l^/lTz)"

216. Intégrale générale^ pour ce cas d'un corps athermane et d'une conductibilité extérieure nulle. — Enfin, la solution génélale, relative au cas où Uq recevrait partout ses vraies valeurs, se formera naturellement par la superposition des solutions partielles, (Sa), correspondant aux cas élémentaires où ces vraies valeurs n'existeraient que dans un intervalle infiniment petit. Et Ton aura l'expression cherchée.

Reconnaissons que les solutions simples (5^), ainsi formées pour (les états initiaux discontinus dans l'espace, reproduisent bien, par leur addition, l'état initial donné Wo(i, r^, . . .), pouvant être parfaitement continu. Il sufBra, pour cela, de procéder comme on l'a fait ci-dessus (form. 5i) dans le cas d'une seule coordonnée, c'està-dire desubstitueràa, (3,... de nouvelles variables d'intégration (o,

co', ..., égales aux quotients respectifs de a — i, P — Tj, par 2y/T.

Il vient ainsi, pareillement au troisième membre de (5i),

La fonction Wq s'annulant, par hypothèse, pour les valeurs infinies de ses n variables ou de chacune d'elles, l'on reconnaît immédiatement que les relations adjointes (5o) sont satisfaites par cette expression de U, de même que l'était déjà identiquement, par l'expression équivalente (53), l'équation indéfinie (49)-

217. Tentative pour calculer le refroidissement dans les hypothèses contraires. — Essayons maintenant d'intégrer l'équation (47) du refroidissement, en restituant le terme f (w) dont nous faisions abstraction. Nous écrirons cette équation ainsi :

Recourons à la nouvelle méthode, consistant dans Vintroduction d'une variable surabondante, qui a déjà rendu accessibles deux questions importantes et difficiles de la Physique mathématique (*). Nous considérerons, en chaque point (Ç, t^, . . .) et à chaque époque t^ non pas une seule valeur u^ mais toute une famille de valeurs ;/, dépendant d'un paramètre continu t, et qui se distingueront justement les unes des autres par ce numéro d^ ordre f t, propre à chacune. Ce paramètre t sera pris variable de zéro à +00, de même que le sera le temps t — ô, compté à partir du début du refroidissement; et l'on conviendra de choisir pour valeur de u correspondant à t=: o la suite même des températures efiectives.

Ayant ainsi à notre disposition une infinité de fonctions u de / — 6, $, Ti- . . ou, ce qui revient au même, une fonction u de / — 0, $, Tj, . . . et de la nouvelle variable indépendante t, nous

( ' ) Voir le Tome II {Calcul intégral, Compléments) ^ p. 5o5* et 5o6*, de mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique^ et la dernière partie de la seconde Note finale du présent Volume.

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essayerons de relier son mode de variation avec t, entièrement libre, d'une part, à son mode de variation avec Ç, r,, ... et, d'autre part, à son mode de variation avec / — ô, de telle sorte que Téqua- ^^on(55) résulte d'elle-même, quel que soit t, de la comparaison de ces deux manières de varier, c'est-à-dire des deux relations 3»nsi obtenues, choisies, toutes deux, séparément intégrables. ^ cet effet, prenons

,\c', du d^u d^u r^du , du

^I^^lions entraînant évidemment, pour toutes les valeurs de t, la

Pi'oposée (55).

^ première (56), identique à (49)» est applicable, par hypowesç^ pour toutes les valeurs positives de ^ — 6. Elle le sera donc, en particulier, à l'instant / = 6 de début du phénomène, alors que, pourT — o, u se réduit aux valeurs données Wp^^Ç, y^, . . .). Il en résulte qu'à cette époque initiale, u a, pour les valeurs positives JeT, l'expression dès lors bien déterminée (54 >, que nous appellerons/(^t, S, Tj, . . .). Cette fonction de /i 4- i variables sera ainsi, en quelque sorte /?ar hypothèse ou par choix,

X Mo ( ? -+- ^ w /t, T, -h 2 a>' y/i. . . . ) dm do) ' . . . .

Donc, u est connu initialement, pour toutes les valeurs à considérer de T et de Ç, Yi, .... Or la seconde équation (56) relie, sur place, ou sans qu'on ait à faire varier $, Ti, . . ., les deux manières dont u varie avec t et avec t; et elle permet d'y déduire w, à toute 'époque, de ses valeurs initiales. Posons, en effet, pour simplifier, les formules

/llftn ^ .

91") ou cp(a; = G

la quadrature / — — r étant d'ailleurs censée se faire à partir d'uno

//mile quelconque, mais constante ; et la méthode ordinaire d'in-

légralion de l'équation du premier ordre, linéaire par rapport aux

dérivées, donnera, comme intégrale générale de la seconde (56),

(59) ,,-ec(,,) = F(x>i-î^).

où F désigne la fonction arbitraire introduite.

Nous déterminerons celle-ci, en spécifiant l'équation (Sg) pour l'époque initiale f =::: 6 où m est la fonction /(t, Î, "n, . . .)• Comme cette équation (Sg) se réduit alors à F(t) = ^(w), l'on aura

Remplaçons-y maintenant t par t + -^» «K^g) deviendra, sauf vérification ultérieure, l'intégrale cherchée de (55) :

(60) (pouroe) e'-«<l>(w) = *[/(x-f-^,$,t3,...)j.

Il suffira, pour en déduire la température, de résoudre cette équation par rapport à m, après y avoir posé t r= o, seule valeur que T doive, d'après les conventions faites, recevoir dans les résultats définitifs.

218. Condition d'appUcabilité de Tintégrale obtenue; sa vérification approximative. — Mais on n'a satisfait explicitement à la première équation (56) que pour la valeur initiale 0 de ^ : et il faut, avant de regarder comme légitime la solution obtenue, s'assurer si cette première équation (56) se trouve vérifiée d'ellemême pour toutes les valeurs positives de f — 6; car rien n'assure a priori que les deux relations (56) soient en général compatibles, ou que la seconde fasse changer u avec /, sur place, de manière à y maintenir la première indéfiniment vérifiée.

Aucune dérivée par rapport au temps / — 6 ne figurant dans la première équation (56), les différentiations à faire sur (60), pour dégager les dérivées ^ et ^ft^ ",— .^ à porter dans cette première équation (56), laissent / — 6 invariable; de sorte que u n'aura à y changer qu'avec la valeur même de la fonction /, ou sera de la forme

DANS tm MILUV ISOTROPB INDfiPIMI, A UNI, DBCX OC TROIS DIIENSIORS. 99

Il en résulte

el la première équation (56) devient

! =>'.-(/.r#*0^..>xv.($*f;*^..).

Mais la fonction /a eu sa forme (67) choisie, précisément, de manière à rendre sa dérivée, par rapport à sa première variable

égale identiquement à la somme de ses dérivées secondes directes

par rapport aux autres variables £, 7\, Les termes en y^{f) se

détruisent donc; et il reste simplement

Or, dans toute la théorie analytique de la chaleur, les pentes ou chutes relatives de température, d'un point à l'autre, sont supposées assez modérées pour que les (lux correspondants de chaleur leur soient proportionnels; ce qui implique l'hypothèse de dérivées de w, ou de/, en Ç, ti, . . ., petites au point de rendre généralement négligeables leurs carrés et produits, dans les formules, à côté de termes linéaires comme étaient, ci-dessus, ceux où fîgu-

raitx'C/).

La même hypothèse a été encore admise lorsque, en formant l'équation indéfinie de la température u^ on a négligé la variation, avec celle-ci w, des coefficients de conductibilité intérieure. En effet, la partie principale du second membre de l'équation indéfinie, savoir, sa partie due à la chaleur que gagne l'élément de volume considéré sur ses voisins, est, par exemple, avec les notations ordinaires, dans un corps homogène et isotrope à coefficient

de coaduclibililé K^

dx

('<S)-|(«|)-.4(|'Sj-

Cette expression a pour développement

dy^

et, comme on la réduit, avec Fourier, à KA2a, Ton y supprime bien trois termes non linéaires par rapport aux dérivées premières de u en x^y^ ^ (*)•

A.ucune circonstance n'indiquant pour le facteur ^"(/), dans (62), une grandeur exceptionnelle, le premier membre de (62) est donc, à raison de son autre facteur (somme des carrés des dérivées premières de/ en S, Tj, . . .), de l'ordre des quantités que Ton regarde comme insignifiantes dans les problèmes; et, par suite, la première équation (56) se trouve à très peu près satisfaite.

219. Sa vériâcation exacte, quand la production de chaleur rayonnante est proportionnelle aux excès de température. — Voyons cependant quelle forme devrait avoir la fonction donnée cp(w), pour que la vérification se fît en toute rigueur. La formule (62) montre qu'il faudrait pouvoir poser '/^ {f) = o, ou, par conséquent, attribuer à 7(/) une expression linéaire M/ + N, avec M, N fonctions seulement de / — 9 et fonctions à valeurs initiales I et zéro respectivement (puisque u =r^/pour ^ = ô). Ainsi, l'équation (60) sera alors satisfaite par une telle expression

ce qui, en faisant passer l'exponentielle dans le second membre, donnera d'une manière continue, soit quand / seul variera, soit quand ce sera l — 8 (avec /alors maintenu constant),

(03) *(M/-4-X) :=^eO-fcï>(y^.

( ' ; Il paratl, loutefois, que les coefficients thermiques de conductibilité intérieure sont moins variables, avec la température, que d'autres coefficients physiques, la capacité calorifique C, par exemple. On pourrait donc motiver encore,

dans une cerlaine mesure, parla petitesse de la dérivée -j—> la réduction de

l'expression précédente à K A^ u.