DANS CN MILIEU ISOTROPE INDÉFINI, A UNE, DEUX OU TROIS DIMENSIONS

De cette relation, différentlée, d'une part, en /, d'autre part, en / — 6, il résulte

M4>'(M/--N)-eô-'*'(/). (M7h-N')*'(M/4-N) --€«-'*(/),

et, par suite,

Multiplions cette dernière par df^ intégrons par rapport à /"et, passant des logarithmes aux nombres, appelons d'ailleurs A l'arbitraire introduite, indépendante de/. Nous aurons

Or 4> /* est fonction de l'unique variable/; de sorte que A est indépendant de / — 9 et que les rapports ..,> ^, sont des constantes — c, C|. On déduit de là, d'une part, pour ^(w), l'expression (64) *(w) = A(a-^c,)",

et, d'autre part, pour M et N, qui doivent devenir respectivement I et zéro quand ^ = 6, les formules

Ces valeurs (64) et (65) de ^(w), M, N vérifient identiquement l'équation fonctionnelle (63). Mais, d'après la seconde relation (58), elles rendent la fonction cp(w), que nous savons devoir s'annuler

avec u, égale à -(u-hc^)] et l'on ne peut, dès lors, s'empêcher

de poser C| = o.

Donc les formules (64) et (6o) donneront comme expressions défînitives de ^(u) et de u, en faisant d'ailleurs t = o,

(66) <ï>(a) = AMS

u=ze •■ /(— Q-' ^TQj •■• )

D'ailleurs, la fonction donnée ^{u) se réduit alors, comme on a vu, d'après (58), à

Elle est linéaire, rendant linéaire aussi l'équation (55) du problème.

Et Ton aurait eu bien plus simplement, dans ce cas particulier, la solution (66), en se donnant avec Fourier, comme fonction

inconnue, le produit ç= ue *^ , au lieu de w ; ce qui réduit cette équation (55) à la forme même,

de l'équation (49) (p. qS) intégrée plus haut, dont la solution

en T, i, Ti, ... est justement /(t, Ç, t;. . .) (*).

( ' ) Pour traiter ud autre cas que celui-là, voyons ce que deviendra, par exemple, riatégrale (60), alors seulement approchée, si l'on prend cp(<i) de la forme monôme essayée (p. 77) vers la fin de la note de la page 74 et suggérée par la formule de Dulong et Petit sur le pouvoir refroidissant des gaz.

Faisons donc

où 8 et c seront des constantes positives. La première formule (58) donnera

l0g<I>(a) ::= r- 4-COnSl.,

et l'intégrale générale (60) deviendra ensuite, aisément,

A mesure que / — 6 grandit, m, d'abord égal à /, lui devient, d'après celte relation, de plus en plus inférieur (relativement), par suite de l'incessante transformation de la chaleur de conductibilité en chaleur rayonnante.

Si 6 est très voisin de zéro, l'intégrale ainsi obtenue, qu'on peut écrire

prend, à la limite, ou pour s évanouissant, la forme

i I / I f — ex"' . ^ .

- = - ( î ; , avec m infini.

u f\ me]

Elle devient donc - - yC ^ , ou u =z e ^ /;et l'on retombe sur les formules (66).