TRENTIÈME LEÇON

SUITE : INTÉGRATION DES ÉQUATIONS POUR LE PROBLÈME GÉNÉRAL DE l'ÉCHAUFFEMENT.

220. Retour au problème de réchauffement : sa solution dans le cas d'une conductibilité extérieure constante. — Nous n'avons eu à éludier le refroidissement du corps (supposé rendu isotrope) que pour connaître les températures produites, à l'intérieur de celui-ci, par la chaleur émanée des sources entre les deux époques / = 8 et / = 64-rfô. Cette chaleur amène instantanément les relèvements Uo de température qu'exprime la formule (46 bis) (p. 92), où figure le facteur infiniment petit d^.

Si Ton avait antérieurement w = o, la fonction <p(w), nulle avec w, ne devant ainsi être considérée qu'au voisinage de zéro, pourra être réduite sans erreur sensible à cp'(o)w, ou sera de la forme (67). Donc la seconde formule (66) se trouvera applicable; et l'expression de la fonction /y sera

si, vu {5'j) et (46 bis), l'on convient d'appeler F la fonction

Ainsi, les accroissements de température, dus à la chaleur débitée par les sources durant l'instant d^ considéré, seront

(pour ^ < 6) M = o,

(pour^>6)a = e c' p (ô, ^ J, J, v), . . . j ^^

I04 ÉCHAUFFEMENT d'UN MILIEU ISOTROPE INDÉFINI,

Cela posé, bornons-nous au cas où l'équation indéfinie (44) cli^ problème (p. 91) est linéaire, c'est-à-dire oii ^{u) a la forme (67), afin de pouvoir obtenir, par la superposition d'une infinité d'intégrales particulières comme (69), une nouvelle intégrale, mais formée pour une équation {U) où le terme, tout connu,

S(^aÇ,^»ir),...),

serait également la somme de ses valeurs correspondant aux diverses intégrales particulières ajoutées.

Or l'intégrale (69) a été obtenue pour le cas où les sources auraient donné leur débit de^ = 6à^=z6-}- rf8, mais débit nul en dehors de ces limites. Il suffira donc, si l'on veut avoir l'intégrale générale, et sauf vérification ultérieure motivée par la discontinuité de forme qu'implique la solution élémentaire (69) à l'instant ^=6, de superposer les solutions, analogues à (69), dans lesquelles l'élément de temps rfô prendrait toutes les situations entre 9=^^= — 00 et 0 = + 00. A cause de la première formule (69^ qui fera évanouir de l'expression générale de u les éléments relatifs à Ô > ^, la solution cherchée, telle qu'on peut ainsi la prévoir, sera

(70) «=jr%^'F(9,ir:»,|.,,...j^?.

11 reste à la vérifier. Prenons sa dérivée en / par la méthode ordinaire. Nous aurons, vu la présence d'un terme relatif à la limite supérieure, t, qui est variable.

rfe-f-F(^ 0,5,7;, ...),

expression où le dernier terme, donné par la formule (68), sera S(^, aÇ, ÔTi, ,. .).

Les difTérentiations en S, r», ... indiquées par le symbole A^

/G , et <p(tt) étant -w, l'équation à vérifier ( 44 N si l'on y transpose au premier membre tous les termes du second, deviendra dès lors, identiquement et (en partie) symbo-