A UNE, DEUX OU TROIS DIMENSIONS

liquement,

■ ■■ ■ rfO

Appelons, pour abréger, t, la variable -y— de la fonction F, el

effectuons, sous le signe / , la diffërentiation en t qui s'y trouve indiquée : la formule (72) se réduit alors à

Or la fonction F, d'après la manière même, (68), dont on Ta formée, a sa dérivée en -régale à la somme de ses dérivées secondes

directes en $, 7|, Ainsi, l'équation indéfinie (44^ d" problème

est bien satisfaite.

On reconnaît, d'ailleurs, immédiatement que F et w s'annulent, comme S, aux distances >J\^ -f- f\^ -\- • de l'origine infinies, et aussi quand le temps t décroît vers — 00. Donc les deux conditions soit aux limites, soit d'état initial, sont également vérifiées. Et la lorraule (70), où la fonction F est définie par (68), constitue bien rinlégrale générale cherchée du problème de réchauffement du corps.

%i . Parité de réchauffement d'un corps isotrope, dans toutes les directions autour d'une source élémentaire. — L'expression générale (70) de la température, dans le problème de réchauffement de notre corps rendu isotrope, se compose donc d'une multiple "ïfinité de termes simples, dont chacun, vu d'ailleurs les formules (^8)7 (54), (53) et (46 bis)^ exprimerait ces températures si les sources avaient été réduites à une seule, occupant entre les limites 5-3t,7lr=p, ... et Ç — a-i-rfa, 71 :- p-i-rf^, ... l'élément rfarf,8... "^ "espace, et qui n'aurait fourni son débit effectif de chaleur que dut^nt un élément unique rfô du temps, savoir, de l'instant ^ r^ 9 ^ ''ïDstant / ~t 0 -f- rfô. Or, d'après la formule la plus réduite (5a) des termes simples (p. gS), où il n'est fait abstraction que du fac-

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I06 PARITÉ, EN TOUS SENS, DE L'ÉCHÀUFFEHBIfT D'UN CORPS ISOTROPE,

leur e *^ et où t désigne la fraction - ^ » chaque valeur partielle de u ne varie, dans l'espace, qu'avec la distance

du point quelconque (Ç, iri, ...), où on la considère, au siège (a, ^, . . .) de la source élémentaire correspondante.

Ce fait important est lié à un caractère moins spécial que lui, offert par les mêmes solutions simples, et dont on pourrait le déduire. Celui-ci consiste en ce que, passé l'époque, ô, du fonctionnement instantané de la source, ou de la production de Taccroissement local Wq de température, l'expression (Sa), même (et

surtout) en lui adjoignant le facteur e ^ , devient immédiatement, et reste désormais, graduellement variable dans tout l'espace, sans s'annuler autre part qu'à l'infini. En efiet, elle ne présente de singularité qu'à l'instant ^ = 8, où t= o et où elle s'annule partout sauf au siège r ^^ o de la source.

Or il suit de cette graduelle variation, dans tout l'espace, dn terme simple (62), qu'un déplacement très petit du point d'émission d'un élément quelconque, dq^ de la chaleur produite par la source, ne modifie pas, dans un rapport appréciable, les températures ultérieures en résultant au point donné (i, t|, . . .) du corps. On peut donc rendre chaque source élémentaire, par d'insignifiants déplacements des points d'émission qui la composent, exactement symétrique ou pareille tout autour d'un centre; cas où ses effets ne dépendent évidemment, à un moment donné et dans le milieu isotrope, que de la dislance r à ce centre.

222. Différence profonde existant , sous ce rapport, entre la propagation par conductibilité et la propagation par ondes. — Il n'en serait plus de même si l'équation indéfinie des températures contenait la dérivée seconde de u par rapport au temps, au lieu de la dérivée première : ce qui rapprocherait cette équation de celle du son. On sait(') qu'alors, dans chaque terme simple, la valeur de u

( ' ) Voir, sur ce sujet capital, les n»" 460* et 476* de mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique ( t. II, Compléments, p. 448*