PAR UNE SOURCE ÉLÉMENTAIRE DE CHALEUR. IO

s'aoDulerait en avant d'une onde progressant avec une vitesse (inie; de sorte que u ne varierait pas graduellement, mais dans un rapport infini, de part et d'autre àw front de l'onde. Donc, de minimes déplacements des points d'émanation y feraient changer notablement u\ et l'on ne pourrait plus, sans erreur très notable, supposer symétrique tout autour d'un centre chaque source élémentaire ('). L'erreur dont il s'agit s'aggraverait encore, dans les cas où chaque onde élémentaire est nettement limitée à son arrière autant qu'à son avant et n'a ainsi qu'une épaisseur infiniment petite; ce qui n'y laisse subsister la fonction w, représentative du mouvement, que dans une partie toujours infime de l'espace. Alors, en effet, les amplitudes peuvent varier dans un rapport quelconque, quand on passe d'un rayon, émané du centre des ébranlements, à un autre rayon (^).

i223. Extension probable du même fait au cas de fonctions ^((/) non linéaires ou d'une conductibilité extérieure variable avec la température. — La parité de réchauffement dans tous les sens, à partir d'une source unique de chaleur, n'est ainsi démontrée, il est vrai, que dans les cas de conductibilité extérieure constante, les seuls où l'équation des températures, avec son terme cp(w), soit linéaire et admette une intégrale générale formée par la simple addition des intégrales particulières se rapportant aux divers points et aux divers instants d'émanation. Mais il doit en être de même dans les autres cas, c'est-à-dire quelle que soit la fonction ç(w).

On peut, du moins, l'inférer de l'exemple fourni par le simple

à 4^1* et 521* à 532*), ou bien la théorie de la délimitcUion latérale des rayons sonores ou lumineux, aux pages 674 à 697 du Volume intitulé Application des potentiels à l'étude de l* équilibre et du mouvement des solides élastiqueSf etc. ^ ou, encore, vers la fin du présent Volume, les première et dernière parties de la grande Note sur la théorie mécanique de la lumière.

( » ) A moins toutefois qu'elle ne fût censée rigoureusement réduite à un point, et, alors, convenablement associée à d'autres, analogues.

(') Ces considérations montrent que le fait, pour nos solutions relatives à une source calorifique élémentaire, de dépendre seulement des deux variables t et /\ n'est pas évident a priori^ comme inclineraient vite à le faire penser, d'abord Tobservation, puis, bientôt, le sentiment, des phénomènes calorifiques, et comme je l'arais implicitement admis, en 1867, dans ma Thèse de doctorat.

lo8 FORMULE DE l'ÉGHAUFFEMENT DU À UNE SOURCE ÉLÉMENTAIRE.

refroidissement, qu'il nous a été donné d'y aborder. En effet, la formule approchée (60) y fait, lors d*un siège élémentaire d'émanation, u fonction des deux seules variables / et r; car l'auxiliaire /*, donnée par (07), (54) ou (53), dépend encore des coordonnées Ç, Y„ ... par l'expression unique (^ — aV--*-(r, — p)--f-..., carré de la distancer de chaque point (Ç, vi, ...) au siège primitif (a, p, ...) de la chaleur ainsi en train de se dissiper. Or la question du refroidissement n'est évidemment que le cas le plus simple de celle de réchauffement, savoir, le cas ou les sources données sont intermittentes, et actives seulement durant de courts instants, séparés par de longs intervalles.

224. Échauffement produit par une source élémentaire dont on donne les débits successifs. — Puisque, aux distances notables d'une source de petite étendue, les températures u dépendent des coordonnées x,y^ z par la variable unique r, et qu'elles se trouvent ainsi indépendantes de la forme de la source ou du mode de distribution de son débit dans toute l'élendue de son siège, on peut admettre qu'elles seront les mêmes, soit quand ce débit proviendra d'actions chimiques intérieures, soit quand il sera transmis d'une certaine dislance par une tige métallique s'insérant dans le corps expérimenté, pourvu que celui-ci soit alors protégé contre le rayonnement de toutes les parties de la tige autres que son extrémité. C'est le dernier cas qui se produisait, comme on sait, dans les expériences du physicien de Senarmont sur les plaques cristallines.

Mais revenons à la formule (70) (p. io4\ pour voir ce qu'elle devient quand les sources se réduisent ainsi à une seule, élémentaire, ou que, par exemple, la fonction S (6, a S, 6ti, . . .) est nulle en dehors des limites Ç = a, ti-- [3, ... et ;--a-f-rfa,rjrLz ^-f-rfp, .... Appelons alors ^{t) le débit de la source (^par unité de temps) à l'époque /, dans le milieu isotrope, ou '}(0) le produit

S(0, aa, b^ \d%d^ ....

La formule (68) p. io3), en y remontant des variables d'intégration (0, 0)', ... aux variables primitives a -^ Ç -j- awy^T,

ÉCHALTFENENT PERMANENT D'uN CORPS ISOTROPE INDÉFINI. 1 0()

'i T~z Tj ;- 2 a>' y'T, ..., donnera

et la relation (70), si l'on convient d'y regarder t comme exprit — i

mant le quotient — >.— > sera dès lors

(-3) zf - / e <- *^-'— „— :^/ e *^ ^^-^- -d-z.

son dernier membre se déduisant du second par Tadoption de t, comme variable dlntégration, à la place de 6.

Telle est donc la formule qui, à diverses dislances r de la source élémentaire donnée, relie la température actuelle u aux débits successifs antérieurs ^ (8) de cette source (*).

225. Cas particulier d'un état permanent. — Quand, à partir d'un certain moment, la source se règle et prend un débit Q constant, ou que, désormais, ^|;(^) ^^ Q, l'état calorifique finit luimême, comme on sait, par être permanent et les températures n tendent vers des valeurs indépeudantes de /. A des distances quelconques r autour d'une source élémentaire, ces valeurs limites constitueront donc une fonction de la variable unique r. Cela résulte déjà de la démonstration précédente, applicable quelque grand que soit t et, par suite, même aux valeurs limites de u. Mais on peut^ussi le démontrer directement, comme il suit :

Appelons [jl^ le rapport constant - ; et supposons la source concentrée, à l'origine O des coordonnées Ç, r^,..., dans un petit espace, que limitera toujours une certaine figure isotherme <t de

(') Cette formule (73), dans le cas particulier d'un corps athennane cl d'une condoctibilité extérieure nulle (où c =00), conduit à quelques lois très simpk> de propagation, que l'on trouvera au n" 467* de mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique (t. II, Calcul intégral, Compléments, p. 47«* à '178* ). On l'applique aussi, sans difficulté, au cas où le siège de la source élémentaire considérée de chaleur se déplace d'une manière quelconque, dans le corps ou milieu indéûni qu'elle chauffe (même t. II, p. 617* à 5ao^).

I 10 PARITÉ, DANS TOUS LES SENS, DE l'ÉCHAUFFBMENT d'uN CORPS ISOTROPE,

très petites dimensions, ensemble de deux points voisins (sur Taxe des Ç) dans le cas d'une seule dimension, et courbe ou surface fermée dans les autres cas, de deux ou trois dimensions, suivant

Fig. i5.

les Ç, Tj, Nous aurons, vu (44) et (67) (p. 91 et 101), comme

équation indéfinie régissant les températures u permanentes dans toutes les régions du corps extérieures à o-.

AjM — [Ji'a.

226. Démonstration directe, dans ce cas, de la parité de l'échaoffement tout autour d'une source élémentaire. — Cela posé, admettons qu'on veuille obtenir la valeur de u en un point quelconque du corps, A par exemple, situé à une distance donnée OA de l'origine {fig- i5).

Nous décrirons, autour de ce point A comme centre, d'une part, une figure <s' d'un rayon infiniment petit constant^ e, et, d'autre part, une figure analogue 2, mais dont le rayon constant R soit infiniment grand. Imaginons, en A, une source concentrée dans l'intérieur de 0^ et du même débil, Q, que la proposée O, mais constituée pareillement tout autour de A, ou telle que, par raison de symétrie, les températures permanentes u' qu'elle ferait naître fussent uniquement fonction de la distance r des divers points ( $, r,, . . .) du corps à son centre A. Cette seconde source

A ClIE, OILX OU TROIS DIMSNS., PAR UNE SOURCE ÉLÉMENT» PERMANENTE. 1 1 1

sera donc purement fictive, ainsi que les températures correspondantes u\ évidemment régies, hors de la figure <s^ , par l'équation indéfinie

(75) A,M'=Ht«w'.

Or multiplions cetle équation par — ud^dy\..., puis ajoutons-la, terme à terme, à Téquation (74) multipliée de même par «f'rfÇrfTj . . .; et, après avoir observé que le résultat aura zéro pour second membre, intégrons les divers termes dans tout l'espace

/ • • • / rfÇ rfT) ... intérieur à la grande figure S, mais extérieur aux

deux petites <t et a'. Si Ton appelle driy de y respectivement, des normales très courtes, menées à deux éléments quelconques d(T, dn/ des petites figures vers le dehors de celles-ci, et rfR la normale analogue à un élément d^ de la grande figure, il viendra, en procédant comme dans une autre question (p. 4^ et 49)*

Sur toute l'étendue de la figure (t, qui est isotherme pour la source proposée, u a une valeur commune, que nous appellerons U;

et nous désignerons par -, la dérivée de u sur Télément rf<j, suivant la normale correspondante dn. D'ailleurs, la fonction u' y varie avec continuité et n'y diffère pas sensiblement de sa valeur relative au point O, ou à la distance r == OA, valeur que nous désignerons par Uq. La première intégrale figurant dans (76) revient donc à

Um si l'on appelle xs l'espace qu'enclôt la figure o-, l'équation (75), multipliée par l'élément dm -- d\ dr^. , , et intégrée dans toute rétendue w, donne, par le même procédé de transformation d'intégrales 011 une intégration se fait exactement, en d'autres

JI2 PARITÉ, DANS TOUS LES SENS, DE l'ÊGUAUFFEM^NT d'lN CORPS ISOTROPE,

ayant pour champ la limite du champ des premières,

Jf -7— d7 — ix* I u' dw = ul^Uqw:

et l'intégrale / , dans (76), devient ainsi (77) «i(V'U.-jrf rf»).

X//ÎÎ -T- rfo", somme des flux de chaleur

sortant, par unité de temps, de la figure a (vu la valeur 1 du coefficient de conductibilité intérieure dans notre milieu isotrope \ n'est autre chose que le débit donné Q de la source O.

11 en résulte que la valeur moyenne, sur <j, de -^ > ne tend pas vers zéro avec w; de sorte que, si U ne croît pas sans limite à l'approche de l'origine O, la dérivée -7- lui restera pour le moins

comparable (au point de vue des valeurs numériques).

Si, au contraire, U y grandit indéfiniment, il est évident que sa