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dérivée correspondante — zr^ y sera encore d'un ordre au moins aussi élevé; car nulle intégrale ne peut, dans un champ infiniment petit, grandir autant que la fonction placée sous son signe / •

Or la dérivée — ^deviendra infinie quand le corps aura deux ou

trois dimensions et que, par suite, la figure o* entourant l'espace tïj décroîtra indéfiniment lors de son rapprochement du point O; car

alors, le débit — / --f-d^ conservant sa valeur Q, la valeur moyenne de — ^ est inverse de o-.

Quoi qu'il en soit, la valeur moyenne de — -j^ sera, dans la

parenthèse de (77), pour le moins comparable a [Ji^U (numériquement), comme on voit, taudis que le facteur w y a une dimension infiniment petite de plus que /rfo- ou o-; le premier terme a^Utn de cette parenthèse est donc toujours négligeable par

A L.\B« DEUX OV TROIS DIMENS., PAR LISE SOURCE ÉLÉMENT. PERMANENTE. I iS

rapport au second, Q. El rintégrale / , dans la formule (76), se

trouve avoir simplement pour valeur Qwj,.

Quant à l'intégrale / , où la fonction Uj et non plus w', varie

graduellement, elle est exactement, pour la source fictive siégeant en A et de débit Q, ce qu'était la précédente pour la source réelle; de sorte que, si Ton appelle iij^ la valeur cherchée de u au

point A, celte intégrale / donnera, au premier membre de (76),

le terme — Q^'a-

Voyons maintenant quel peut être Tordre de grandeur du se-

cond membre, c'est-à-dire de Tinlëgrale / . Comme w' ^^ ^ J sont fonction seulement de R, on peut écrire ainsi ce second membre :

«^w' r ,., f r du

ài-'^^-'X%---

Or - / 3B ^ exprime la chaleur qui, dans l'unité de temps,

sort effectivement par la figure S ; et l'on peut admettre qu'elle est, au plus, de l'ordre de grandeur du débit Q de la source. Car, le corps ou milieu matériel compris entre les limites o-, a' et S ayant ses températures invariables, et celles-ci, même, étant continues dans tout Tinlérieur de la limite évanouissante a', dès lors négligeable, la chaleur qui sort par la figure S égale, à tout instant, l'excédent de la chaleur, Q, fournie par la source sur celle que le corps ou milieu en question rayonne sans cesse au dehors ; et cette dernière n'exprime généralement qu'une partie de Q. Donc le second terme de (78) a un de ses facteurs au plus de l'ordre de grandeur de Q, tandis que l'autre, u', s'évanouit quand il est pris 'à une distance R croissant sans limite.

Il en est de môme du premier terme, qui peut s'écrire, en appelant Oii^/ja moyenne des valeurs de u sur toute l'étendue S,

^'* — ^ s y est évidemment la partie du débit Q fourni idéale-

Il4 ÉCHAUFFfiMENT PEKMANENT A PARTIR D*UN CENTRE l

ment par la source fictive à siège A, qui sort dans l'unité de temps à travers la figure S, et DïLu y tend, comme w', vers zéro lorsque R devient infini.

Ainsi, le second membre de (76) est évanouissant par rapport à chacun des termes du premier membre; et cette relation revient à Q(«o — ^a) = <^ï o^ donne simplement u^^^ u'q-

C'est bien dire que la température permanente ^ u^, maintenue au point quelconque A du corps par la source élémentaire donnée O, égale la température analogue u^ que maintiendrait, à pareille distance r =-:^ O A, une source élémentaire de même débit Q, constituée pareillement dans toutes les directions autour de son centre,

227. Expressions qu'y reçoit la température, dans une barre et dans un corps massif. — Supposons donc u fonction de la variable unique r. Son paramètre difierentiel A2 admettra dès lors, comme

,, . d^a n -\ du y , ,.

on sait, 1 expression ^— -i -r- » dans un espace à n dimensions ou coordonnées Ç, t|, .... Et l'équation indéfinie (74) <Jeviendra

d^u n — \ du dr^ r dr ^

r , n -rt)(n-i)-l/ '--'\

Elle est, sous sa dernière forme, à coefficients constants dans les deux cas n = 1, /i 1-^ 3, c'est-à-dire d'une barre et d'un corps massif; et elle donne alors, M, N désignant deux constantes,

(80) ur * = Me-H'''-t-N<5l*'*.

Or, si l'on n'annule pas la constante N, cette formule, pour r

croissant indéfiniment, rendra le produit ur * très grand de

l'ordre de e^^ ou incomparablement plus que la puissance r * ; et u ne s'annulera pas asymptotiquement, comme l'exige la condition relative à r = 00 . Donc on doit poser N = o.

Quant à la constante M, elle devra, pour r infiniment petit,